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目录
第一章 倒向随机微分方程 1
1.1 符号注记 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 倒向随机微分方程建模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 组合投资问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2 期权定价问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 倒向随机微分方程理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1
倒向随机微分方程的一般形式
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 解的存在唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Feynman-Kac 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.4 比较定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 倒向随机微分方程数值方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Euler 格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Theta 格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 变分 Theta 格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.4 多步 Adams 格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 数值实验 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 正倒向随机微分方程基本理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 FBSDE 的一般形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.2 FBSDE 解存在唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7 正倒向随机微分方程数值方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7.1 四步法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7.2 Euler 格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7.3 θ 格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7.4 新的 θ 格式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.8 数值实验 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8.1 非全耦合 FBSDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8.2 全耦合 FBSDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8.3 全耦合 FBSDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8.4 全耦合 FBSDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
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1.9 FBSDE 的统计推断 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9.1 引例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9.2 预备知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.3 积分型 FBSDE 的半参数统计推断 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9.4 FBSDE 模型的终端控制变量推断 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
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第一章 倒向随机微分方程
1.1 符号注记
(Ω, F, P, {F
t
}
T
t=0
)：一个带域流的完备概率空间；
{F
t
}
T
t=0
：运动产生的自然信息流。标准 Brown 运动 W
t
的信息流为 F
t
= σ{N ∩σ{W
s
|0 ⩽
s ⩽ t}}；
L
2
F
T
(R
m
)：F
T
可测且平方可积的随机变量 (m 维随机变量) 集合，等价于 L
2
(F
T
; R
m
)；
L
2
F
t
(0, T ; R
m
)：{F
t
} 适应且平方可积 E
T
0
|X
s
|
2
ds < ∞ 的随机过程集合；
C
k
b
：对 k
1
⩽ k，有一致有界偏导数 ∂
k
1
x
φ 的连续可微函数 φ : R
n
→ R 的全体；
C
k+α
b
(α ∈ (0, 1))：对 k
1
⩽ k，有一致有界偏导数 ∂
k
1
x
φ 并且 ∂
k
1
x
φ 满足 α−Holder 连续 (即
∃C
H
> 0，使得 ∀x, x
′
，有 |∂
k
0
φ(x) − ∂
k
x
φ(x
′
)| ⩽ C
H
|x − x
′
|
α
) 的函数 φ : R
n
→ R 的集合；
C
l,k
b
：对 l
1
⩽ l, k
1
⩽ k，有一致有界偏导数 ∂
l
1
t
∂
k
1
x
φ 的连续可微函数 φ : [0, T ] ×R
n
→ R 的
集合/全体；
C
l,k,k
2
b
：连续可微函数 φ : [0, T ] × R
d
× R
m×d
→ R 的集合/全体。φ 对 l
1
⩽ l, k
1
+ k
2
⩽ k，
有一致有界偏导数 ∂
l
1
t
和 ∂
k
1
y
∂
k
2
z
φ；
F
t,x
s
：由 Brown{x + W
s
− W
t
}
T
s=t
产生的 σ 域，Brown 从时间空间 (t, x) 出发；
C
∞
p
(R
n
)：偏导数满足多项式增长的光滑函数 φ : R
n
→ R 的集合。
1.2 倒向随机微分方程建模
1.2.1 组合投资问题
这一章，我们要开始投资赚钱啦！考虑有两种投资对象：1). 无风险投资：银行存款，国债等；
2). 有风险投资：股票等。假设我们有 1 个无风险投资和 d 个有风险投资，可以进行组合投资，
那么问题来了，我们要如何进行组合投资呢？在投资股票时，我们会研究其历史价格，利用这些
历史信息指引投资。假设已知一个债券和 d 支股票的历史价格或价格模型 (可能要进行估计，这
里我们假设模型中的参数已知)。下面给出一个债券和 d 支股票在 [0, T ] 时间上的价格模型。
1
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1.2 倒向随机微分方程建模 第一章 倒向随机微分方程
¬ 债券价格模型。对于无风险投资而言，其价格模型可以描述为 ODE 过程
dP
t
= r
t
P
t
dt
P (0) = P
0
0 ⩽ t ⩽ T
其中：P
t
为 t 时刻债券价格，r
t
为 t 时刻无风险利率。
股票价格模型。对风险投资而言，其价格模型可以描述为 SDE 过程
dS
i
(t) = b
i
(t) S
i
(t)dt +
d
j=1
σ
ij
(t) S
i
(t)dW
j
(t)
S
i
(t) = S
i
0 ⩽ t ⩽ T
i = 1 , 2, ··· , d
其中：W
t
是 d 维 Brown 运动，{F
t
} 为信息流，描述了 t 时刻已获得的信息，b(t) 是股票的期
望回报率，σ(t) 是股票的波动率。
现在，有一投资者 A，A 在 t = 0 时刻打算用 Y
0
资产来投资 (1 + d) 个对象，用 Y
t
表示 t
时刻的资产。并且根据历史信息 {F
t
}，决定在 t 时刻用资产 π
i
= (π
1
(t), π
2
(t), ··· , π
d
(t))
′
投资
d 支股票，剩余的钱投资国债。那么其资产 Y
t
就满足如下过程。
dY
t
= [ r
t
Y
t
+ π
t
(b
t
− r
t
)]dt + π
t
σ
t
dW
t
其中，r
t
为无风险利率，b
t
为股票收益率，σ
t
为股票波动率。令 π
t
σ
t
= Z
t
，则
dY
t
= [ r
t
Y
t
+ (b
t
− r
t
)σ
−1
t
Z
t
]dt + Z
t
dW
t
现在的问题是：如果投资者 A 希望在 T 时刻有资产 Y
T
= ξ，那么 A 在 t = 0 时刻应投入多少
Y
0
，且其策略 π
t
应是如何的？即求 Y
0
, (Y
t
, π
t
)。
下面考虑一种债券和一支股票的情况，投资者 A 在 t = 0 时刻决定用 Y
0
来进行投资，且在
t 时刻将 Y
t
中的 π
t
元来买股票，Y
t
− π
t
来买债券，则其资产 Y
t
满足如下过程
dY
t
= [( Y
t
− π
t
)r
t
+ π
t
b
t
] dt + σ
t
dW
t
= [ r
t
Y
t
+ (b
t
− r
t
)π
t
]dt + π
t
σ
t
dW
t
=
r
t
Y
t
+ (b
t
− r
t
) σ
−1
t
Z
t
dt + Z
t
dW
t
现在问：什么样的 Y
t
和 (Y
t
, Z
t
) 能够使 A 在 T 时刻的资产为 Y
T
= ξ ？即如下问题
dY
t
=
r
t
Y
t
+ (b
t
− r
t
) σ
−1
t
Z
t
dt + Z
t
dW
t
Y
T
= ξ
(1.1)
如果你已经阅读完前一章的 SDE，那么你可能会发现，其实上述问题是 SDE 的终值问题
(就像 ODE 有初值条件、终值条件和边值条件那样)。下面，再来介绍下一个问题。
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第一章 倒向随机微分方程 1.2 倒向随机微分方程建模
1.2.2 期权定价问题
假设市场是无摩擦且是完全的
¬
。考虑一种欧式看涨期权定价问题。仅考虑一只股票的情况，
设 A 手中持有一支这样股票且股票的历史数据已知，如图 (1.1) 所示，股票价格模型已假设。
图 1.1: 合同交易情况
现在 AB 两人拟定这样一份合同：B 可以在规定时刻 T ，用 k 元来购买股票 (仅考虑 1 股)。
如果股票在 T 时刻的价格 S
T
大于 k (S
T
> k)，则 B 购买股票，B 赚 S
T
−k，A 赔 S
T
−k。如
果 S
T
< k，那么 B 不购买股票，B 一点不赚，A 一点不赔。很明显，这份合同对 B 是绝对有利
的。所以在合同交易日 t = 0 时刻，B 只需要给 A 一定的钱 Y
0
(即合同价格)
。
A 要用合同约定的钱 Y
0
来把 T 时刻赔的钱 max{S
T
− k, 0} 赚回来啊，而他能投资的对象
是一种国债和一支股票 (即 A 手中的唯一一支股票)，二者的价格为：
dP
t
= r
t
P
t
dt
dS
t
= b
t
S
t
dt + σ
t
S
t
dW
t
0 ⩽ t ⩽ T
S (0) = S
0
A 在 t = 0 时刻用 Y
0
来投资，在 [0, T ] 的 t 时刻，他的投资策略为 Y
t
中的 π
t
元来买股票，
Y
t
− π
t
来买债券，故其 Y
t
满足如下过程
dY
t
= [ r
t
Y
t
+ π
t
(b
t
− r
t
)] dt + π
t
σ
t
d
令 π
t
σ
t
= Z
t
，有
dY
t
= [ r
t
Y
t
+ (b
t
− r
t
)σ
−1
t
Z
t
]dt + Z
t
dW
t
并且 A 要用 Y
t
来弥补 T 时刻亏损 {S
T
− k, 0}，即 Y
t
⩾ max {S
T
− k, 0}，但 B 又不会容许
Y
t
> max {S
T
− k, 0} 情况发生，故要求 Y
t
在 T 时刻价格等于 max {S
T
− k, 0}。
dY
t
= [ r
t
Y
t
+ (b
t
− r
t
) σ
t
−1
Z
t
]dt + Z
t
dW
t
dS
t
= b
t
S
t
dt + σ
t
S
t
dW
t
Y
t
= max {S
T
− k, 0}
0 ⩽ t ⩽ T
S (0) = S
0
(1.2)
¬
此处有待说明
注：期权价格：期望 T 时刻行使权利 (合同) 的价格，看涨期权即 S
T
> k。
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1.3 倒向随机微分方程理论 第一章 倒向随机微分方程
现在问题是：合同价格 Y
0
应该是多少，Y
t
, Z
t
, S
t
是怎么确定的才能满足上面的要求。注：合
同价格 Y
0
即为欧式看涨期权价格，上述问题也即期权定价问题，可以看到无论是前面的组合投
资问题 (1.1) 还是后面的期权定价问题 (1.2)，都是 SDE 终值问题。我们称式 (1.1) 为倒向随机
微分方程 (BSDE)，式 (1.2) 为正倒向随机微分方程 (FBSDE)，因为式 (1.2) 与一个 SDE 组成
方程组，故为 FBSDE。
1.3 倒向随机微分方程理论
1.3.1 倒向随机微分方程的一般形式
下面，我们用上面的例子引出 BSDE 与 FBSDE 的一般形式，介绍线性 BSDE 和非线性
BSDE，并将 BSDE 模型规范化。
线性 BSDE
上面的模型 (1.1) 和模型 (1.2) 并非线性 BSDE，但由前一章介绍的 SDE，我们不难给出线
性 BSDE 的一般形式
dY
t
= f (Y
t
, t) dt + g (Y
t
, t) dW
t
Y
T
= ξ
其中：0 ⩽ t ⩽ T ，且 f, g 为 Y
t
, t 的线性函数，例如：
f (Y
t
, t) = a
t
+ b
t
Y
t
g (Y
t
, t) = c
t
+ d
t
Y
t
1973.Bismnt(法)3在研究随机最优控制问题时，为解释 Pontryagin 最大值原理中伴随过程的
随机性时，引入了线性 BSDE。之后，1979.Arbin、1978.kabanov、1995.Cadenilas 和 Karatzas
都利用 BSDE 为 P 极大值原理做出贡献。1978.Bismut 的两篇文章45系统的介绍了线性 BSDE
问题。
非线性 BSDE
根据前一章 SDE 的内容，我们可以给出非线性 BSDE 的一般形式
dY
t
= f (Y
t
, t) dt + g (Y
t
, t) dW
t
Y
T
= ξ
0 ⩽ t ⩽ T
其中，f, g 为一般形式的映射。
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第一章 倒向随机微分方程 1.3 倒向随机微分方程理论
但是，上面的非线性 BSDE 的一般形式并非我们下面要讨论的。我们用组合投资问题 (1.1)
和期权定价问题 (1.2) 来引出如下非线性 BSDE 的一般形式
dY
t
= f(t, Y
t
, Z
t
)dt + g(t, Y
t
, Z
t
)dt + Z
t
dW
t
Y
t
= ξ
0 ⩽ t ⩽ T
非线性 FBSDE 的一般形式
dX
t
= b (t, X
t
, Y
t
, Z
t
) dt + σ (t, X
t
, Y
t
, Z
t
) dt
t
dY
t
= f (t, X
t
, Y
t
, Z
t
) dt + Z
t
dW
t
Y (T ) = Y
T
= φ (X
t
, T )
X (0) = x
这种非线性 BSDE 不仅要求解 Y
t
过程，还需要求解 Z
t
过程。
下面，我们先讨论 BSDE，然后再讨论 FBSDE。我们考虑 Pardoux 和 Peng 给出的非线性
BSDE 形式
−dY
t
= f (t, Y
t
, Z
t
) dt + g (t, Y
t
, Z
t
) dt − Z
t
dW
t
Y
t
= ξ
0 ⩽ t ⩽ T
(1.3)
其等价的积分形式为 (在 [t, T ] 上积分)
Y
t
= ξ +
T
t
f(Y
s
, Z
s
, s)ds −
T
t
Z
s
dW
s
其中，t ∈ [0, T ]。我们将上式 (1.3) 的 BSDE 形式规范化：¬量的空间映射空间®解域。
Y
t
为 m 维，即共有 m 个分量，Y
t
∈ R
m
；W
t
是 d 维 Brown 运动，Z
t
∈ R
m×d
，f 为一映
射，即 f (t, Y
t
, Z
t
) : Ω ×[0, T ] × R
m
× R
m×d
→ R
m
。(Y
t
�Z
t
) 是一对随机过程，就某时刻 t 而言，
(Y
t
, Z
t
) 为随机变量 (后面要定义解空间-随机过程集合)。Y
T
= ξ 是一随机变量，ξ ∈ R
m
，应可
测且平方可积。
由于上面是在概率的基础上进行研究的，设 (Ω; F, P ) 为一概率空间 (完备)。F
t
= σ{W
s
:
0 ⩽ s ⩽ t} 是 W
s
自然信息族，且所有的 P 零测集亦包含在 F
t
中，则 {F
t
} 是由 {W
t
} 产生的
σ 代数流。
记：在 T 时刻 F
T
可测且平方可积的随机变量 ξ 的集合为 L
2
(F
T
; R
×
)，F
T
可测是指只有到 T
时刻才能确定的量，则模型 (1.3) 末端时刻的取值情况为 Y
T
= ξ ∈ L
2
(F
T
; R
m
)。
现在讨论解 (Y
t
�Z
t
) 的可行域。 如果一随机过程 Y
t
，∀t ∈ [0, ∞)，Y
t
是关于 F
t
可测的随机
变量，则称 Y
t
在 F
t
是适应的。记在 [0, T ] 上 F
t
适应的随机过程集合为 ϕ
1
。
如果一随机过程 Y
t
满足：
E
T
0
|Y
t
|
2
dt < ∞
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1.3 倒向随机微分方程理论 第一章 倒向随机微分方程
则 Y
t
在 [0, T ] 上平方可积。记：在 [0, T ] 上平方可积的随机过程集合为 ϕ
2
。记：在 [0, T ] 上 F
t
可
测且平方可积的随机过程集合为 L
2
F
(0, T |R
×
) = ϕ
1
∩ ϕ
1
，则 (Y
t
, Z
t
) ∈ L
2
F
0, T
R
m
× R
m×d
。
注：1. 可测就是可测，平方可积就是平方可积。2.L
2
F
(0, T |R
×
) 是一个 Hilbert 空间。3.L
2
F
t
; R
d
:
E (|X
t
|
2
) < ∞，其中 X
t
是随机变量。4.L
2
F
t
((0, T ); R
d
) : E
T
0
|ϕ
t
|
2
dt < ∞，其中：ϕ
t
是随机过
程。
上面给出了各个量的空间和解域，但并没有详细讨论映射的形式 (例：f 可能是连续、有界
或者导数连续有界)，我们在具体的问题中进行具体的分析。下面，我们将给出 BSDE 解的存在
唯一性以及一些比较定理。
1.3.2 解的存在唯一性
1990.Peng 和 Pardoux21给出了非线性 BSDE，并证明其解的存在唯一性。1991.Peng11获得
了非线性 BSDE 的非线性 Feynman-Kac 公式，使 BSDE 与 PDE 相关联。1992.Peng12进一步
讨论了 F-K 公式。1993.Peng13在 f 满足局部 L 条件下得到解的存在唯一性。1997.Daring 和
Pardoux7在 f 关于 y
t
单调，关于 z
t
满足全局 L 条件下得到解的存在唯一性。关于 BSDE 理论
与应用更详细的内容可以参考：1997.EI.Karoui,Peng,Ouenei10、1999.Ma17和 2007.Pardoux22。
定理 (BSDE 解存在唯一性) 若 f 满足：
1).∀(y, z) ∈ R
m
× R
m×d
，f(·, y, z) 是 R
m
值的 {F
t
} 适应过程，且满足
T
0
|f(s, ∞)|ds ∈ L
2
F
(0, T ; R
m
) ≜ H
2
F
(0, T ; R
m
)
2).f 关于 (y, z) 满足 lipschitz 条件，即 ∃C > 0(C 为 L 常数)，使得 ∀y, y
1
∈ R
m
，∀z, z
1
∈
R
m×d
，有 |f(t, y, z) − f (t, y
1
, z
1
)| ⩽ C(|y −y
1
| + |z − z
1
|) 且终值 ξ ∈ L
2
F
T
(0, T ; R
m
)，则 BSDE
存在唯一适应解 (Y
t
�Z
t
)，若解 (Y
t
�Z
t
) ∈ L
2
F
(0, T ; R
m
× R
m×d
)，即 (Y
t
, Z
t
) 是 [0, T ] 上关于 F
t
可测且平方可积的，则 (Y
t
, Z
t
) 称为 BSDE 的 L
2
适应解。
注：Let ξ ∈ L
2
F
T
(0, T ; R
m
) and Let f : Ω × [0, T ] ×R
m
× R
m×d
→ R
m
, leqslant such that
1. f (t, y, z) is progressively measurableqslant for all (y, z);
2. f (t, 0, 0) ∈ L
2
F
(0, T ; R
m
) = H
2
F
(0, T ; R
m
);
3. f sabses a uniform Lipschitz condrton in (y, z).
将上述存在唯一性应用到线性 BSDE，有
−dY
t
= [ ϕ
t
+ A
t
Y
t
+ B
t
Z
t
]dt − Z
t
dW
t
Y
T
= ξ ∈ R
m
0 ⩽ t ⩽ T
其中：ϕ
t
, Y
t
, A
t
∈ L
2
F
(0, T ; R
m
)，B
t
, Z
t
∈ L
2
F
(0, T ; R
m×d
) ，且 A
t
, B
t
有界。
如果上述线性 BSDE 如前，存在唯一解 (Y
t
, Z
t
)，那么 Y
t
可以显式求解出来
Y
t
= E
ξX
T
+
T
t
ϕ
s
X
s
ds
F
t
a.s
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第一章 倒向随机微分方程 1.3 倒向随机微分方程理论
其中：X
s
满足如下线性 SDE
X
s
= A
s
X
s
ds + B
s
X
s
dW
s
t ⩽ s ⩽ T
X
t
= 1
1.3.3 Feynman-Kac
公式
前面，我们讨论的是 Y
T
= ξ ∈ R
m
。现在不妨假设有另一随机变量 X
T
∈ R
n
，可通过映射
φ(X
T
) : R
n
→ R
m
，那么终止条件可以变为：Y
T
= φ(X
T
)，在这种情况下给出 Feynman-Kac 公
式。考虑如下 BSDE 的积分形式
Y
t
= φ (X
T
) +
T
t
f (s, Y
s
, Z
s
) ds−
T
t
Z
s
dW
s
其对应的微分形式为
−dY
t
= f (t, Y
t
, Z
t
) dt − Z
t
dW
t
Y (T ) = Y
T
= φ (X
T
) = ξ
0 ⩽ t ⩽ T
若 (Y
t
, Z
t
) 是上述 BSDE 的 L
2
适应解 (F
t
适应且平方可积)，则 (Y
t
, Z
t
) 可表示为
Y
t
= u(t, X
t
)
Z
t
= ∇
x
u(t, x)
∀t ∈ [0, T ]
其中，u(t, x) 是如下拟线性 PDE 的光滑解，∇
x
u 是 u 关于 x 的梯度。
∂u
∂t
+ Lu + f (t, u) = 0
u (x, T ) = φ (x)
(x, t) ∈ R
n
× [0, T ]
其中:L 是二阶梯度微分算子
L =
1
2
n
i=1
∂
2
∂x
2
i
为简便，假设 f, φ 是有界光滑的，它们的导数是有界的。在此假设下，PDE 存在唯一有界
光滑解 u(t, x) 并且其导数也是有界的。
1.3.4 比较定理
定理 (比较定理) 设 (f
1
, ξ
1
≜ Y
1
T
≜ φ
1
(X
T
))，(f
2
, ξ
2
) 是两组 BSDE 的参量，(Y
1
t
, Z
1
t
) ，
(Y
2
t
, Z
2
t
) 是两组 BSDE 的 L
2
适应解。如果
1). ξ
1
⩾ ξ
2
a.s;
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1.4 倒向随机微分方程数值方法 第一章 倒向随机微分方程
2).f
1
(t, Y
2
t
, Z
2
t
) ⩾ f
2
(t, Y
2
t
, Z
2
t
) a.e a.s
则 ∀t ∈ [0, T ]，有 Y
1
t
⩾ Y
2
t
a.e a.s。
推论 若 ξ ⩾ 0 a.s.，f (t, ∞) ⩾ 0 a.s，则 Y
t
⩾ 0 a.s。
注：Let (ξ
1
, f
1
) leqslant standard parmeters and let (y
1
t
, z
1
t
) and (y
2
t
, z
2
t
) leqslant tleqslant solu-
tions to their corresponding BSDEs, Suppoleqslant that
1. ξ
1
⩾ ξ
2
a.s;
2. f
1
(t, y
2
t
, z
2
t
) ⩾ f
2
(t, y
2
t
, z
2
t
) dt ⊗dP, a.e;
3. f
2
(t, Y
2
t
, Z
2
t
) ⩽ L
2
F
(0, T ; R
m
) Then, y
1
t
⩾ y
2
t
for allt ∈ [0, T ] a.s。其证明可参见：1992.Par-
doux20和 1992.Peng12。
1.4 倒向随机微分方程数值方法
上面给出了非线性 BSDE 解存在唯一性，Feynman-Kac 公式以及比较定理。下面，我们来
介绍一些数值算法：
1. Euler 格式
2. θ 格式
3. 变分 θ 格式
4. Adams
格式
1.4.1 Euler 格式
Euler 格式的导出
先在一维情况下对数值格式/方法进行说明。Y
t
∈ R，W
t
是一维 Brown 运动
Y
t
= φ (X
T
) +
T
t
f (s, Y
s
, Z
s
) d
s
−
T
t
Z
s
dW
s
(1.4)
其中，φ(X
T
) = ξ ∈ L
2
F
T
(R)。
¬时间划分
对时间区间 [0, T ] 进行如下划分，记划分为 τ。
0 = t
0
< t
1
< ··· < t
N
= T
令 ∆t
n
= t
n+1
− t
n
, n = 0 , 1, ··· , N − 1。
∆t
n
= max
0⩽n⩽N−1
∆t
n
∆W
n
= W
t
n+1
− W
t
n
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第一章 倒向随机微分方程 1.4 倒向随机微分方程数值方法
这里，不防来用 N 等划分 τ
N
，则 ∆t =
T −0
N
。
Brown 运动的离散化
考虑一个 Benoulli 序列 {ξ
n
}
N
n=1
，ξ
n
是独立同分布的随机变量且取值有限，且 Eξ
n
> 0, Dξ
n
=
1，并且有 ξ
0
= 0 。假设 ξ
n
取值 x
j
(j = 1, 2, ··· , l) 的概率为 p
j
，则由期望和方差可知
j
p
j
x
j
= 0
j
p
j
x
2
j
= 1
则在 [t
n
, t
n+1
] 时间段内 ∆W
t
n
=
√
∆t
n
ξ
n
=
√
∆tξ
n
。故可以将 Brown 运动 W
t
®
表示为
W
t
≈ W
N
t
=
[t/∆t]
n=0
∆t
n
ξ
n
= ∆ t
[t/∆t]
n=1
ξ
n
0 ⩽ t ⩽ T
易见，当 N → ∞ 时，W
N
t
→ W
t
, a.e.，即 W
N
t
几乎处处收敛于 W
t
。定义由离散 Brown 运
动 W
N
t
形式的自然信息族为 F
N
t
n
= σ(ξ
0
, ξ
1
, ··· , ξ
n
)，则 n 趋向无穷时，有 F
N
n
→ F
N
t
n
。
®终端 Y
T
的处理
如果终端 Y
T
= ξ = φ((W
t
)
0
⩽
t
⩽
T
)，其中：ϕ : D
[0,T ]
→ R 且满足 L 条件，那么我们需要让
终端近似值 ξ
N
= φ((W
N
t
)
0⩽t⩽T
) 满足
1：ξ ∈ L
F
T
(R)，ξ
N
∈ L
F
N
T
(R)，有
E|ξ|
2
+ sup
n
E|ξ
n
|
2
< ∞
以及
lim
n→∞
E|ξ − ξ
n
|
2
= 0
2：
N
j=0
|f(t
j
, ∞)|
2
∆t 相对于 N 一致有界。
4
O离散 BSDE 方程
dY
t
= −f (t, Y
t
, Z
t
) dt + Z
t
dW
t
上述方程两边在 [t
n
, t
n+1
] 上积分有
t
n+1
t
n
dY
t
= −
t
n+1
t
n
f (s, Y
s
, Z
s
) ds +
t
n+1
t
n
Z
s
dW
s
对上式的右端积分项有以下三种处理方式：
1).
t
n+1
t
n
f (s, Y
s
, Z
s
) ds = f (t
n
, Y
t
n
, Y
t
n
) ∆t
2).
t
n+1
t
n
f(s, Y
s
, Z
s
)ds = f(t
n+1
, Y
t
n+1
, Z
t
n+1
)∆t
3).
t
n+1
t
n
f(s, Y
s
, Z
s
)ds = θf(t
n
, Y
t
n
, Z
t
n
)∆t + (1 −θ)f (t
n+1
, Y
t
n+1
, Z
t
n+1
)∆t
®
注：在每个时间段内，W
t
n
以概率 p
j
增加 x
j
。
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1.4 倒向随机微分方程数值方法 第一章 倒向随机微分方程
所以我们会有三种 Euler 格式 (SDE 中成为显式、隐式和 θ 格式)。我们以第三种处理方式来看
(由于 3 是一种一般的情况，1 和 2 是 3 的特殊)。由
Y
t
n+1
− Y
t
n
= −
t
n+1
t
n
f (s, Y
s
, Z
s
) ds+
t
n+1
t
n
Z
s
dW
s
有
Y
t
n
= Y
t
n+1
+ [θf(t
n
, Y
t
n
, Z
t
n
) + (1 −θ)f (t
n+1
, Y
t
n+1
, Z
t
n+1
)]∆t − Z
t
n
ξ
n+1
√
∆t
一般来说
Z
(
T
)
只影响
T
时刻后
(
Y
t
, Z
t
)
的值，不妨设
Z
T
= 0
，并且对一般离散
BSDE
而
言，可积 Z 的计算较为困难，而且在证明数值解收敛值和稳定性时会遇到困难，所以下面我们考
虑 f 不含 Z 或者只是 Z 的线性函数 (可通过 Girsanov 变换将线性函数变为不包含 Z 的情况)。
Y
t
n
= Y
t
n+1
+ [θf(t
n
, Y
t
n
, Z
t
n
) + (1 −θ)f (t
n+1
, Y
t
n+1
, Z
t
n+1
)]∆t − Z
t
n
ξ
n+1
√
∆t
Y
T
= ξ
N
Z
T
= 0
n = N − 1, N − 2, ··· , 1, 0
对上式两边取条件期望
E(Y
t
n
|F
N
n
) = E
Y
t
n+1
+ [θf(t
n
, Y
t
n
, Z
t
n
) + (1 −θ)f (t
n+1
, Y
t
n+1
, Z
t
n+1
)]∆t|F
N
n
− E(Z
t
n
ξ
n+1
√
∆t|F
N
n
)
又因为 Z
t
n
与 ξ
n+1
相互转换，所以
E
Z
t
n
ξ
n
+1
√
∆t
F
N
n
=
√
∆tE
Z
t
n
F
N
n
E
ξ
n+1
F
N
n
= 0
由此得到 Euler 格式为
Y
t
n
= E
Y
t
n+1
+
θf(t
n
, Y
t
n
) + (1 −θ)f (t
n+1
, Y
t
n+1
)
∆t
F
N
n
Z
t
n
= E
Y
t
n+1
− Y
t
n
+
θf(t
n
, Y
t
n
) + (1 −θ)f (t
n+1
, Y
t
n+1
)
∆t
√
∆tξ
n+1
F
N
n
Y
T
= ξ
N
Z
T
= 0
当 θ = 1，得到左端 Euler 格式为
Y
t
n
= E
Y
t
n+1
F
N
n
+ f(t
n
, Y
t
n
)∆t
Z
t
n
= E
Y
t
n+1
− Y
t
n
+ f(t
n
, Y
t
n
)
√
∆tξ
n+1
F
N
n
Y
T
= ξ
N
Z
T
= 0
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第一章 倒向随机微分方程 1.4 倒向随机微分方程数值方法
再进行一次迭代求解
Y
t
n
= E(Y
t
n+1
|F
N
n
) +
1
n
f(t
n
, Y
t
n
)
Z
t
n
= E
Y
t
n+1
− Y
t
n
+
1
n
f(t
n
, Y
t
n
)
√
∆tξ
n+1
F
N
n
Y
T
= ξ
N
Z
T
= 0
当 θ = 0 时，得到右端 Euler 格式为
Y
t
n
= E
Y
t
n+1
+ f(t
n+1
, Y
t
n+1
)∆
t
|F
N
n
Z
t
n
= E
Y
t
n+1
− Y
t
n
+ f(t
n+1
, Y
t
n+1
)
√
∆tξ
n+1
F
N
n
Y
T
= ξ
N
Z
T
= 0
假设 (Y
t
, Z
t
) 为原 BSDE 的 L
2
适应解，(Y
N
t
, Z
N
t
) 为离散 BSDE 的之 Euler 格式解。下面，我
们来介绍数值解的存在唯一性和误差估计。
2002.Protter23给出了左端 Euler 格式。2004.zhang30给出了左端 Euler 格式的强 0.5 阶收
敛结果。2006.Gobet15将结果推广到 L
p
范数下的强 0.5 解收敛。2006.Peng27给出了右端 Euler
格式的收敛性。Euler 格式用多项随机游动来近似 Brown 运动，使终端条件和一般并且容易实
现。但是，这种计算只具有弱收敛性，且由于空间复杂度 (E) 随维度增加而变大，很难用于高维
度 BSDE 问题。
离散 BSDE 解的存在唯一性
若 ξ
N
, f 满足：
1).ξ
N
是 F
N
N
可测的。
2).∃C > 0，∀y
1
, y
2
, z
1
, z
2
及 k，有
|f (t, y
1
, z
1
) − f (t, y
2
, z
2
)| ⩽ C (|y
1
− y
2
| + |z
1
− z
2
|)
且
E
k
|
f
(
t
k
, y
k
, z
k
)
|
2
< ∞
则当 α∆tC < 1 时，离散 BSDE 的方程存在唯一解 (Y
N
t
, Z
N
t
)
¯
。
数值解的误差估计
当 θ =
1
2
时，利用 2 项随机游动逼近 Brown 运动，对足够小的 ∆t，足够大的 N
sup
0⩽n⩽N
Y
N
t
n
− Y
t
n
⩽
R
e
L
− 1
2N
¯
注：上式中 f 中的 z 可略去 (即写为 f(t, y))
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1.4 倒向随机微分方程数值方法 第一章 倒向随机微分方程
其中，R 为 f 的界，L 为 f 的 Lipschitz 常数。
Z
N
t
n
− Z
t
n
⩽
R(e
L
− 1)(2 + L/N)
2
√
N
p
3
1 − p
+
(1 − p)
3
p
收敛性
2006.Peng 给出右端 Euler 格式的收敛性
E
sup
0⩽n⩽N
Y
N
t
n
− Y
t
n
2
+
T
0
Z
N
s
− Z
s
2
ds
→ 0
如果当 n → ∞ 时，F
N
n
→ F
t
n
，ξ
N
→ ξ，则
E
Y
N
t
n
− Y
t
n
→ 0 ∀t
n
T
t
Z
N
t
dW
N
t
→
T
t
Z
t
dW
t
回顾前面 Brown 运动的离散化，我们假设 ξ
n
是独立同分布的随机变量且取值有限，Eξ
n
= 0 ，
Dξ
n
= 1 ，ξ
0
= 0 ，并且 ξ
n
可能取值为 x
j
(j = 1, 2, ··· , l)，取 x
j
的概率为 p
j
。下面，我们来示
范一下这种离散化：
1). 二项随机游动逼近 Brown 运动。当 ξ
n
只取 2 个值 x
1
, x
2
且概率 P 取值 x
1
，(1 − p) 取
值 x
2
，那么在 [t
n
, t
n+1
] 时间段内，Brown 运动以概率 P 增加 ∆tx
1
，以概率 1 − p 增加 ∆tx
2
，
例如：x
1
= 1 , x
2
= −1, p = 0 .5。
2). 三项随机游动逼近 Brown 运动。当 ξ
n
取值为 x
1
, x
2
, x
3
，且以概率 p
2
取值 x
1
，以概率
2p(1 −p) 取值 x
2
，以 (1 −p)
2
概率取值 x
3
，那么在 [t
n
, t
n+1
] 时间段内，Brown 运动以概率 P
2
增加 ∆tx
1
，以概率 2p(1 −p) 增加 ∆tx
2
，以概率 (1 −p)
2
增加 ∆tx
3
。例如：x
1
= 2 , x
2
= 0 , x
3
=
−2, p = 0 .5。
3).L 项随机游动逼近 Brown 运动。类推 1) 和 2)。
1.4.2 Theta 格式
半 Theta 格式
对 ∀(t, x) ∈ [0, T ]×R
d
，记 t 时刻从 x 出发的 Brown 运动：W
t,x
s
= x+W
s
−W
t
(t ≤ s ≤ T )
且 W 为 d 维标准 Brown 运动；记 W
x
t
= x + W
t
(即当s = t时)，则有 W
x
T
= x + W
T
，记
F
t,x
s
= σ{N ∪ σ{W
tx
r
, t ≤ r ≤ s}}。L
2
F
t
s
(t, T ; r
m
) 为所有平方可积且 E
T
t
|Y
s
|
2
ds < ∞ 且与
{F
tx
s
} 适应的 R
m
值的随机过程 ϕ 的集合。
考虑如下 BSDE
Y
t
= φ
W
t,x
T
+
T
t
f (s, Y
s
, Z
s
) ds −
T
t
Z
s
dW
s
W
t,x
T
= x + W
T
− W
t
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第一章 倒向随机微分方程 1.4 倒向随机微分方程数值方法
其中：φ : R
d
→ R
m
，f : [0, T ] × R
m
× R
m×d
→ R
m
，假设 f 关于 y, z 满足全局 L 条件，且
T
0
|f (s, 0, 0)|ds < ∞，那么 BSDE 存在唯一 {F
t,x
s
} 适应解 (Y
t
, Z
t
) ∈ L
2
F
t
×(0, T ; R
m
× R
m×d
)。
此外，对 1 ⩽ k ⩽ m，若 f
k
∈ C
1,2,2
b
, φ
k
∈ C
2+α
b
，那么由 Feynman-Kay 公式，有
Y
s
= u
s, W
t,x
s
Z
s
= ∇
x
u
s, W
t,x
s
∀s ∈ [t, T )
其中：u(t, x) 是下面 PDE 的 C
1,2
b
经典解。
∂u
k
∂t
+
1
2
d
i=1
∂
2
u
k
∂x
i
∂x
i
+ f
k
(s, u, ∇
x
u) = 0 s ∈ [t, T ), x ∈ R
d
u
k
(T, x) = φ
k
(x) x ∈ R
d
其中：∇
x
u 是 u 关于 x 的梯度。这里，我们假设：f, φ 有界光滑，则其导数和有界，并且 PDE
有唯一光滑解 u(t, ∞) 且解的导数有界。
2006.zhao32提出 BSDE 的 θ 格式，该方法结合 PDE 数值解法的特点，并且在时间空间 (t, x)
上进行离散，用
MC
方法结合插值法来近似条件数学期望。
2009.zhao33给出了
θ
格式的误差估
计。
我们在 f 中不含 z 的情况下引出 θ 格式
¬时间划分
对时间区间 [0, T ] 划分为 N 段，记划分方法为 τ 。
0 = t
0
< t
1
< ··· < t
N
= T
记：
∆t
n
= t
n+1
− t
n
∆t = max
n
∆t
n
∆W
n
= W
t
n+1
− W
t
n
其中：n = 0 , 1, ··· , N − 1。并且假设划分 τ 有如下性质：
max ∆t
n
min ∆t
n
⩽ C
0
其中：C
0
是常数。注：不妨采用 N 等分的 τ
+
，∆t =
T
N
。
离散
BSDE
方程
dY
t
= −f (t, Y
t
, Z
t
) dW
t
+ Z
t
dW
t
在 [t
n
, t
n+1
] 上积分有
Y
t
n
= Y
t
n+1
+
t
n+1
t
n
f (s, Y
s
) ds−
t
n+1
t
n
Z
s
dW
s
(1.5)
n = N − 1, N − 2, . . . , 1, 0
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1.4 倒向随机微分方程数值方法 第一章 倒向随机微分方程
®求 (Y
t
n
, Z
t
n
) 迭代公式
✓求 Y
t
n
迭代公式
对上述方程两边取 F
t,x
s
的条件数学期望 (为方便书写，记 E
t,x
s
[·] = E[·|F
t,x
s
]，E
x
s,t
[·] =
E[·|F
t,x
s
])，有
Y
t
n
= E
x
t
n
Y
t
n+1
+
t
n+1
t
n
E
x
t
n
[f (s, Y
s
)] ds −
t
n+1
t
n
E
x
t
n
[Z
s
] dW
s

=0
= E
x
t
n
Y
t
n+1
+
t
n+1
t
n
E
x
t
n
[f (s, Y
s
)] ds (1.6)
可以发现，上式右边的积分函数是一个常数 (而非随机)，故可以对它使用积分方法：
t
n+1
t
n
E
x
t
n
[f (s, Y
s
)] ds = θ
1
∆t
n
f (t
n
, Y
t
n
) + (1 −θ
1
) ∆t
n
E
x
t
n
f
t
n+1
, Y
t
n+1

+ R
n
y
(1.7)
其中：θ
1
∈ [0, 1]。R
n
y
为 y 的截断误差项，定义其为：
R
n
y
=
t
n+1
t
n
E
x
t
n
[f (s, Y
s
)] ds −
θ
1
∆t
n
f (t
n
, Y
t
n
) + (1 −θ
1
) ∆t
n
E
x
t
n
f
t
n+1
, Y
t
n+1

将上式 (1.7) 代入式 (1.6)，并消去 R
n
y
可得到 Y
t
n
的迭代公式：
Y
t
n
=
E
x
t
n
Y
t
n+1
+ θ
1
∆t
n
f (t
n
, Y
t
n
) + (1 −θ
1
) ∆t
n
E
x
t
n
f
t
n+1
, Y
t
n+1

✓求 Z
t
n
迭代公式
上面得到 Y
t
n
的迭代公式。下面，我们来求解 Z
t
n
的迭代公式。令 ∆W
s
= W
s
− W
t
n
�(s ∈
[t
n
, t
n+1
])，∆W
s
是一个期望为 0，标准差为
√
∆t
n
的标准 Brown 运动。对式 (1.5) 两边同乘
∆W
T
t
n
，然后在方程两边取 F
t,x
t
的条件数学期望 E
x
t
n
[·]。
E
x
t
n
Y
t
n
∆W
T
t
n+1
= E
x
t
n
Y
t
n+1
∆W
T
t
n+1
+
t
n+1
t
n
E
x
t
n
f (s, Y
s
) ∆W
T
t
n+1
ds
−
t
n+1
t
n
E
x
t
n
Z
s
∆W
T
t
n+1
dW
s
由条件数学期望的性质及 Ito 等距公式，有
0 = E
x
t
n
[Y
t
n+1
∆W
T
t
n+1
] +
t
n+1
t
n
E
x
t
n
[f(s, Y
s
)∆W
T
s
]ds −
t
n+1
t
n
E
x
t
n
[Z
s
]ds
同样，可以发现上式右边的被积函数是常函数 (而非随机)，或者说积分是普通积分而非随机
积分，故可以用一些积分公式
t
n+1
t
n
E
x
t
n
[Z
s
]ds = θ
3
∆t
n
E
x
t
n
[Z
t
n
] + (1 −θ
3
)∆t
n
E
x
t
n
[Z
t
n+1
] + R
n
z
1
t
n+1
t
n
E
x
t
n
[f(s, Y
s
)∆W
T
s
]ds = θ
2
∆t
n
E
x
t
n
[f(t
n
, Y
t
n
)∆W
T
t
n
]
=0
+ (1 − θ
2
)∆t
n
E
x
t
n
[f(t
n+1
, Y
t
n+1
) · ∆W
T
t
n+1
] + R
z
2
n
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第一章 倒向随机微分方程 1.4 倒向随机微分方程数值方法
令 R
n
z
= R
n
z
1
+
R
n
z
2
，故有
0 = E
x
t
n
Y
t
n+1
∆W
T
t
n+1
+ (1 − θ
2
) ∆t
n
E
x
t
n
f
t
n+1
, Y
t
n+1
∆W
T
t
n+1
−
θ
3
∆t
n
[Y
t
n
] + (1 −θ
3
) ∆t
n
E
x
t
n
Y
t
n+1

+ R
n
z
同样忽略 R
n
z
，我们可以得到 Z
t
n
的迭代公式。综上，有下面的
半
θ
格式：
给定 Y
T
= y
N
，对 n = N − 1, N − 2, . . . , 1, 0 有
Y
t
n
= E
x
t
n
Y
t
n+1
+ θ
1
∆t
n
f (t
n
, Y
t
n
) + (1 −θ
1
) ∆t
n
E
x
t
n
f
t
n+1
, Y
t
n+1

0 = E
x
t
n
Y
t
n+1
∆W
T
t
n+1
+ (1 − θ
2
) ∆t
n
E
x
t
n
f
t
n+1
, Y
t
n+1
∆W
T
t
n+1
−
θ
3
∆t
n
E
x
t
n
[Z
t
n
] + (1 −θ
3
) ∆t
n
E
x
t
n
Z
t
n+1

其中：θ
1
, θ
2
, θ
3
∈ [0, 1]。
半 θ 格式的误差估计
下面，我们给出半 θ 格式的误差估计，为了简单，仅给出一维 BSDE(m = d = 1) 的情况。
定义 (Y
N
t
n
, Z
N
t
n
) 为半 θ 格式的解，(Y
t
n
, Z
t
n
) 为 BSDE 的解。
(1) 若 f ∈ C
1,3
b
, φ ∈ C
3+α
b
，则对 θ
1
, θ
2
∈ [0, 1]，θ
3
∈ (0, 1]，有
R
n
y
⩽ C(∆t
n
)
2
|R
n
z
| ⩽ C(∆t
n
)
2
(2) 若 f ∈ C
2,5
b
, φ ∈ C
5+α
b
，则对 θ
1
= θ
2
= θ
3
=
1
2
，有
R
n
y
⩽ C(∆t
n
)
3
|R
n
z
| ⩽ C(∆t
n
)
3
其中：C 是依赖于 T 和 f, φ, u 导数上界的正常数，u 为 PDE 的经典解。
半 θ 格式的收敛性
我们还给出 e
n
y
= Y
N
t
n
− Y
t
n
，e
n
z
= |Z
N
t
n
− Z
t
n
| 的 L
1
估计。
(1) 若 f ∈ C
1,3
b
, φ ∈ C
3+α
b
，则对给出的 ∀t
n
, ∀θ
1
∈ [0, 1]，都有
max
0⩽n⩽N
E|Y
N
t
n
− Y
t
n
| ⩽ C∆t
(2) 若 f ∈ C
2,5
b
, φ ∈ C
5+α
b
，那么对足够小的 ∆t 和 θ
1
=
1
2
，有
max
0⩽n⩽N
E|Y
N
t
n
− Y
t
n
| ⩽ C(∆t)
2
(3) 若 f ∈ C
2,5
b
, φ ∈ C
5+α
b
，那么对足够小的 ∆t 和 θ
1
=
1
2
, θ ∈ [0, 1], θ
s
= 1 ，有
max
0⩽n⩽N−1
E|Z
N
t
n
− Z
t
n
| ⩽ C∆t
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1.4 倒向随机微分方程数值方法 第一章 倒向随机微分方程
其中：C 是依赖于 T 和 f, φ, u 导数上界的正常数。
注：当 θ
1
= θ
2
= θ
3
= 1 时，为左端 Euler 格式；当 θ
1
= θ
2
= θ
3
= 0 时，为右端 Euler 格式；
当 θ
1
= θ
2
= θ
3
=
1
2
时，为 Crank - Nicolson。
全 θ 格式
为简便仅考虑 m = d = 1 的情况，W
tx
s
= x + W
s
−W
t
(t ⩽ s ⩽ T ), (t, x) ∈ [0, T ] ×R。上面
的半 θ 格式是时间 t 方向上的离散格式，我们还可以做一个空间 X 上的离散，称这种时间 t 空
间 X 上的离散为全 θ 格式。记 x ∈ R 的全空间的一个划分为 R
h
R
h
= {x
i
|x
i
∈ R, i ∈ Z, x
i
< x
i+1
, lim
i→∞
x
i
= ∞, lim
i→−∞
x
i
= −∞}
其中，Z 为整数集，x
i
都是确定的。记 ∆x
i
= x
i+1
− x
i
，∆x = max
i∈Z
∆x
i
(Y
t
, Z
t
) 为 BSDE 的解析解。其在 (t
n
, x
i
) 点处的值的近似解 (数值解) 为 Y
n
i
，则有全 θ 格
式：给定 Y
N
i
(i ∈ Z)，寻找 (Y
n
i
, Z
n
i
)(i ∈ Z, n = N − 1, N − 2, . . . , 1, 0)，有
Y
n
i
=
ˆ
E
x
i
t
n
ˆ
Y
n+1
+ θ
1
∆t
n
f (t
n
, Y
n
i
) + (1 −θ
1
) ∆t
n
ˆ
E
x
i
t
n
f
t
n+1
,
ˆ
Y
n+1

0 =
ˆ
E
x
i
t
n
ˆ
Y
n+1
∆W
n+1
+ (1 − θ
2
) ∆t
n
ˆ
E
x
i
t
n
f
t
n+1
,
ˆ
Y
n+1
∆W
n+1
−
θ
3
∆t
n
ˆ
E
x
i
t
n
[Z
n
t
] + (1 −θ
3
) ∆t
n
ˆ
E
x
i
t
n
ˆ
Z
n+1

其中：
ˆ
Y
n+1
，
ˆ
Z
n+1
分别是 Y
n+1
l
和 z
n+1
l
, l ∈ Z 在空间点 W
t
n
,x
i
t
n+1
= x
i
+ W
t
n+1
− W
t
n
处的插值；
ˆ
E
x
i
t
n
[·] 是 E
x
i
t
n
[·] 的近似解，可以用 MC 方法或者 Gauss-Hermite 方法来实现。
注：MC 方法常被用于计算数学期望，条件数学期望 (积分)，但因为 MC 近似收敛于的值与
1
√
M
成正比，用 MC 方法要消耗大量的时间，所以在实际中较多采用 Gauss-Hermite 积分公式。
定义 (Gauss-Hermite 积分公式) 给定一个一维光滑函数 ρ(x)，其 Gauss-Hermite 积分公
式为
+∞
−∞
e
−x
2
ρ (x) dx ≈
k
i=1
w
i
ρ (η
i
)
其中：η
i
是如下 k 阶 Hermite 多项式的 k 个根
H
k
(x) = ( −1)
k
e
x
2
d
k
dx
k
e
−x
2
w
i
是权重，由下式确定
w
i
=
2
k+1
k!
√
π
[H
′
k
(η
i
)]
2
截断误差项 R(ρ, k) 为
R (ρ, k) =
+∞
−∞
e
−x
2
ρ (x) dx −
k
i=1
w
i
ρ (η
i
)
且
∃
v
∈
R
使得
R
(
ρ, k
) =
k!
√
π
2
k
(2k)!
ρ
2k
(v)。
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第一章 倒向随机微分方程 1.4 倒向随机微分方程数值方法
由 Gauss-Hermite 积分公式我们给出 E
x
i
t
n
[·] 的估计值
ˆ
E
x
i
t
n
[·] 的计算公式
ˆ
E
x
i
t
n
ˆ
Y
n+1
=
1
√
π
k
j=1
w
j
I
h
Y
n+1
x
i
+
2∆t
n
η
j
ˆ
E
x
i
t
n
ˆ
Z
n+1
=
1
√
π
k
j=1
w
j
I
h
Z
n+1
x
i
+
2∆t
n
η
j
ˆ
E
x
i
t
n
f
t
n+1
,
ˆ
Y
n+1

=
1
√
π
k
j=1
w
j
f
t
n+1
, I
h
Y
n+1
x
i
+
2∆t
n
η
j

ˆ
E
x
i
t
n
f
t
n+1
, I
h
ˆ
Y
n+1
∆W
t
n+1
=
1
√
π
k
j=1
w
j
f
t
n+1
, I
h
Y
n+1
x
i
+
2∆t
n
η
j

2∆t
n
η
j
其中：I
h
Y
n+1
x
i
+
√
2∆t
n
η
j
是 Y
n+1
l
(l ∈ Z) 在 x
i
+
√
2∆t
n
η
j
附近插值得到的 Y
n+1
x
i
+
√
2∆t
n
η
j
的近似值。
全 θ 格式的误差估计
设 (Y
i
, Z
i
) 是 BSDE 的解，(Y
n
i
, Z
n
i
) 是全 θ 格式的解，则当 ∆t 和 ∆x 足够小时，对 θ ∈ [0, 1]，
有
max
i,n
Y
x
i
t
n
− Y
n
i
⩽ C
∆t +
(∆x)
2
∆t
+
k!
∆t2
k
(2k)!
特别地，当 θ =
1
2
时，有
max
i,n
Y
x
i
t
n
− Y
n
i
⩽ C
(∆t)
2
+
(∆x)
2
∆t
+
k!
∆t2
k
(2k)!
当 θ = 1 时，有
max
i,n
Z
x
i
t
n
− Z
n
i
⩽ C
∆t +
(∆x)
2
∆t
+
k!
∆t2
k
(2k)!
1.4.3 变分 Theta 格式
前面介绍了 Euler 格式和 θ 格式。下面将介绍另一种数值方法—变分 θ 格式。我们先来考
虑变分半 θ 格式及其误差估计，然后给出变分全 θ 格式。
变分半 θ 格式
变分半 θ 格式和半 θ 格式相同的是：时间划分 τ 和 Y
t
n
的迭代公式，不同的是
Z
t
n
的迭代
公式。
¬时间划分 τ
离散 BSDE 方程
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1.4 倒向随机微分方程数值方法 第一章 倒向随机微分方程
®求 Y
t
n
, Z
t
n
迭代公式
✓求 Y
t
n
迭代公式
Y
t
n
= E
x
t
n
Y
t
n+1
+ θ
1
∆t
n
f (t
n
, Y
t
n
) + (1 −θ
1
) ∆t
n
E
x
t
n
f
t
n+1
, Y
t
n+1

✓求 Z
t
n
迭代公式
为了得到 Z 的高阶近似，我们引入 BSDE 的变分方程 (2002.Ma,zhang19)。对 k = 1, 2, . . . , m(Y
t
∈
R
m
), j = 1, 2, . . . , d(W
t
是 d 维 Brown 运动)
∇
j
Y
k
s
= ∂
x
φ
k
W
tx
T
e
j
+
T
s
∂
y
f
k
(r, Y
r
) ∇
j
Y
r
dr −
T
s
∇
j
Z
k
r
dW
r
s ∈ [t, T ] (1.8)
其中：e
j
= (0 , . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)
T
是 R
d
中第 j 个坐标向量；
Z
k,:
= ( Z
k−1
, . . . , Z
k−d
) 是 n × d 维矩阵 Z 的第 k 行；
∂
x
φ
k
=
∂
x
1
φ
k
, . . . , ∂
x
d
φ
k
是 φ
k
关于 x ∈ R
d
的梯度，x = ( x
1
, x
2
, . . . , x
d
)
T
；
∂
x
f
k
=
∂
x
1
f
k
, . . . , ∂
x
d
f
k
；
W
t,x
s
= x + W
s
− W
t
(t ⩽ s ⩽ T ) 是 t 时刻从 x 出发的 Brown 运动；
∇
j
Y
k
s
是一随机过程，是 Y
k
s
关于 x
j
的变分；
∇
j
Z
k,i
s
是一随机过程，是 Z
k
s
关于 x
j
的变分。
将上式写成矩阵的形式有
∇Y
t
= φ
′
x
W
t,x
T
+
T
t
f
′
y
(s, Y
s
)∇Y
s
ds −
T
t
∇Z
s
dW
s
由 ∀s ∈ [0, T ) ，Y
s
= u (s, W
t,x
s
)，Z
s
= ∇
x
u (s, W
t,x
s
)，我们有：Z
t
= ∇Y
t
，即
Z
k,j
s
= ∇
j
Y
k
s
s ∈ [t, T ) (1.9)
将式 (1.9) 代入式 (1.8)，有
Z
k,j
s
= ∂
x
φ
k
(W
t,x
T
)e
j
+
T
s
∂
y
f
k
(r, Y
r
)Z
i,j
r
dr −
T
t
∇
j
Z
i,k
r
dW
r
s ∈ [t, T ]
其中：Z
:,j
是 m × d 维矩阵 Z 的第 j 列。
写出上式的离散方程，有
Z
k,j
t
n
= Z
k,j
t
n+1
+
t
n+1
t
n
∂
y
f
k
(s, Y
s
) Z
:,j
s
ds −
t
n+1
t
n
∇
j
Z
k,:
r
dW
s
(1.10)
对上式两边取条件数学期望 E
x
t
n
[·]，有
Z
k,j
t
n
= E
x
t
n
Z
k,j
t
n+1
+
t
n+1
t
n
E
x
t
n
∂
y
f
k
(s, Y
s
) Z
:,j
s
ds
即
Z
t
n
= E
x
t
n
[Z
t
n+1
] +
t
n+1
t
n
E
x
t
n
∂
y
f
k
(s, Y
s
)Z
s
ds
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第一章 倒向随机微分方程 1.4 倒向随机微分方程数值方法
同样上式的右端积分项为常积分，用 θ 方法近似积分，并记截断误差项为 R
n
2
Z
t
n
= E
x
t
n
[Z
t
n+1
] + θ
2
∆t
n
∂
y
f(t
n
, Y
t
n
)Z
t
n
+ (1 − θ
2
)∆t
n
E
x
t
n
[∂
y
f(t
n+1
, Y
t
n+1
)Z
t
n+1
]
综上，有变分半 θ 格式：对 1 ⩽ k ⩽ m，1 ⩽ j ⩽ d，给定 Y
N
, Z
N
，有
Y
t
n
= E
x
t
n
[Y
t
n+1
] + θ
1
∆t
n
f(t
n
, Y
t
n
) + (1 −θ
1
)∆t
n
E
x
t
n
[f(t
n+1
, Y
t
n+1
)]
Z
t
n
= E
x
t
n
[Z
t
n+1
] + θ
2
∆t
n
∂
y
f(t
n
, Y
t
n
)Z
t
n
+ (1 − θ
2
)∆t
n
E
x
t
n
[∂
y
f(t
n+1
, Y
t
n+1
)Z
t
n+1
]
将上面的格式写为分量形式，有
Y
k
t
n
= E
x
t
n
Y
k
t
n+1
+ θ
1
∆t
n
f
k
(t
n
, Y
t
n
) + (1 −θ
1
) ∆t
n
E
x
t
n
[f
k
t
n+1
, Y
t
n+1
]
Z
k,j
t
n
= E
x
t
n
Z
k,j
t
n+1
+ θ
2
∆t
n
∂yf
k
(t
n
, Y
t
n
) Z
k,j
t
n
+ (1 − θ
2
) ∆t
n
E
x
t
n
∂yf
k
t
n+1
, Y
t
n+1
Z
:,j
t
n
其中：
R
n
2
=
R
k,j,n
2
m×d
变分半 θ 格式的误差估计
对 1 ⩽ k ⩽ m, 1 ⩽ j ⩽ d，R
k,n
y
与 R
k,j,n
2
是截距误差项
(1) 若 f
k
∈ C
1,3
b
, φ
k
∈ C
3+α
b
，则对 θ
1
, θ
2
∈ [0, 1]，有
R
k,n
y
⩽ C(∆t
n
)
2
R
k,j,n
z
⩽ C(∆t
n
)
2
(2) 若 f
k
∈ C
2,5
b
, φ
k
∈ C
5+α
b
，则对 θ
1
= θ
2
=
1
2
，有
R
k,n
y
⩽ C(∆t
n
)
3
R
k,j,n
z
⩽ C(∆t
n
)
3
其中：C 是依赖于 m, d, T 和 f, φ, u 导数上界的正常数，u 为 PDE 的经典解。
令 (Y
t
, Z
t
) 是 BSDE 的解析解，(Y
N
t
, Z
N
t
) 是变分半 θ 格式的解
(1) 若 f
k
∈ C
1,3
b
, φ
k
∈ C
3+α
b
，则对对足够小的 ∆t 和 θ
1
θ
2
∈ [0, 1]，都有
max
0⩽n⩽N
E|Y
N
t
n
−
Y
t
n
|
2
⩽ C∆t
2
max
0⩽n⩽N
E|Z
N
t
n
− Z
t
n
|
2
⩽ C∆t
2
(2) 若 f
k
∈ C
2,5
b
, φ
k
∈ C
5+α
b
，那么对足够小的 ∆t 和 θ
1
= θ
2
=
1
2
，有
max
0⩽n⩽N
E|Y
N
t
n
− Y
t
n
|
2
⩽ C∆t
4
max
0⩽n⩽N
E|Z
N
t
n
− Z
t
n
|
2
⩽ C∆t
4
其中：C 是一个依赖于 C
0
, m, d, T 和 f, φ, u 导数上界的正常数，u 为 PDE 的经典解。
注：易给出变分全 θ 格式，这里不再介绍。2012.zhao34提出了新的更一般的 T heta 格式。
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1.4 倒向随机微分方程数值方法 第一章 倒向随机微分方程
1.4.4 多步 Adams 格式
2010.zhao31提出一种多步格式。前面介绍的 Euler 格式，θ 格式和变分 θ 格式都是单步算
法，即为求 Y
t
n
，只要用 Y
t
n+1
即可。为了提高截断误差项的阶数，在每个时间步 [t
n
, t
n+1
] 必须
增加 E
x
t
n
[f(t, y)] 的总次数，这样会无疑会增大计算量。
下面，我们将介绍一种线性多步算法—Adams 格式，为求 Y
t
n
，我们需要用 Y
t
n+1
, Y
t
n+2
, . . . , Y
t
n+m
来计算，且每进行一步，只计算一次 E
x
t
n
[f(t, y)] 的值。
半 Adams 格式：仅考虑时间离散
像前面的半 θ 格式和全 θ 格式那样，我们先给出半 Adams 格式。
¬时间离散划分 τ
离散 BSDE
®求 (Y
t
n
, Z
t
n
) 迭代公式
✓
求
Y
t
n
迭代公式
假设我们已经知道了 (Y
t
n+1
, Z
t
n+1
), (Y
t
n+2
, Z
t
n+2
), . . . , (Y
t
n+m
, Z
t
n+m
) 的值，则对 0 ⩽ n ⩽
N − m，从 [t
n
, t
n+m
] 积分，有
Y
t
n
= Y
t
n+m
+
t
n+m
t
n
f (s, Y
s
)ds +
t
n+m
t
n
Z
s
dW
s
(1.11)
对上式两边取条件期望 E
x
t
n
[·]，有
Y
t
n
= E
x
t
n
Y
t
n+m
+
t
n+m
t
n
E
x
t
n
[f (s, Y
s
)] ds
上面等式右边存在未知解 Y
s
。而我们已知 f(t
n+i
, Y
t
n+i
)i = 1, 2, . . . , m 的值，我们自然想到把
E
x
t
n
[f(s, Y
s
)] 用经过点 [t
n+i
, f
n+i
] 的插值多项式替代，即用
P
m
(t) =
m
i=0
E
x
t
n
f
t
n+i
, Y
t
n+i

L
i
(t)
其中：
L
i
(t) =
j=0
j=i
s − t
n+j
t
m
n+i
− t
n+j
i = 0 , 1, . . . , m
来替代 E
x
t
n
[f(s, Y
s
)]，得
t
n+m
t
n
E
x
t
n
f (s, Y
s
)ds = m∆t +
m
i=0
b
m,i
E
x
t
n
f
t
n+i
, Y
t
n+i

+ R
n
y
(1.12)
其中：R
n
y
是截断误差项。
b
m,i
=
1
m∆t
t
n+m
t
n
m
j=0
j=i
s − t
n+j
t
n+i
− t
n+j
ds =
(−1)
n−i
m
m
0
τ
i

τ − (i + 1)
m − i
dτ
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第一章 倒向随机微分方程 1.4 倒向随机微分方程数值方法
将式 (1.12) 代入式 (1.11) 并去掉 R
n
y
项，可以看到 Y
t
n
的迭代公式
Y
t
n
= E
x
t
n
Y
t
n+m
+ m∆t
m
i=0
b
m,i
E
x
t
n
f
t
n+i
, Y
t
n+i

表 (1.1) 给出了 b
m,i
的值
表 1.1: b
m,i
的取值情况
m b
m,i
1
1
2
1
2
2
1
6
4
6
1
6
3
1
8
3
8
3
8
1
8
4
7
90
16
45
2
15
16
45
7
90
5
19
288
25
96
25
144
25
144
25
96
19
288
6
41
840
9
35
9
280
31
105
9
280
9
35
41
840
✓求 Z
t
n
迭代公式
上面给出了 Y
t
n
的迭代公式，下面给出 Z
t
n
的迭代公式。令 ∆W
s
= W
s
−W
t
n
(
s
∈
[
t
n
, t
n+m
])
，
∆W
s
是一个均值为 0，标准差为
√
s∆t
n
的标准 Brown 运动。在式 (1.11) 两边同乘 ∆W
t+m
，然
后取条件数学期望 E
x
t
n
，由条件数学期望的值和
Ito
等距公式我们有
0 = E
x
t
n
Y
t
n+m
∆W
t
n+m
+
t
n+m
t
n
E
x
t
n
[f (s, Y
s
) ∆W
s
]ds −
t
n+m
t
n
E
x
t
n
(Z
s
) ds (1.13)
根据条件数学期望的定义，我们有
E
x
t
n
Y
t
n+m
∆W
t
n+m
=
1
√
2πm∆t
∞
−∞
Y (t
n+m
, x + v) v exp
−
v
2
2m∆t
dv
=
1
√
2πm∆t
∞
−∞
∇y (t
n+m
, x + v) exp
−
v
2
2m∆t
dv
= m∆tE
t
n
x
[∇y
t
n+m
]
由 Feynman-kac 公式
Y
t
= u (t, W
t
)
Z
t
= ∇
x
u (t, W
t
)
∀t ∈ [0, T ]
得 ∇Y
t
n+m
= Z
t
n+m
。同样，我们用多项式替代式 (1.13) 中右端的积分项。
t
n+m
t
n
E
x
t
n
[f (s, Y
s
) ∆W
s
]ds = m∆t
m
i=0
b
m,i
E
x
t
n
f
t
n+i
, Y
t
n+i
∆W
t
n+i
+ R
n
z1
(1.14)
t
n+m
t
n
E
x
t
n
[Z
s
]ds = m∆t
m
i=0
b
m,i
E
x
t
n
Z
t
n+i
+ R
n
z1
(1.15)
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1.5 数值实验 1 第一章 倒向随机微分方程
其中：R
n
z1
, R
n
z2
为截断误差项，我们不妨记 R
n
z
= R
n
z1
+ R
n
z2
。将式 (1.14) 和式 (1.15) 代入式
(1.13) 有
0 = E
x
t
n
Z
t
n+m
+
m
i=0
b
m,i
E
x
t
n
f
t
n+i
, Y
t
n+i
∆W
t
n+i
−
m
i=0
b
m,i
E
x
t
n
Z
t
n+i
+
1
m∆t
R
n
z
忽略截断项 R
n
z
，我们得到半 Adams 格式：给定终端 (y
N
, z
N
)，对 n = N −m, N −m−1, . . . , 1, 0
有
Y
t
n
= E
x
t
n
Y
t
n+1
+ m∆t
m
i=0
b
m,i
E
x
t
n
f
t
n+i
, Y
t
n+i

0 = E
x
t
n
Z
t
n+m
+
m
i=0
b
m,i
E
x
t
n
f
t
n+i
, Y
t
n+i
∆W
t
n+i
−
m
i=0
b
m,i
E
x
t
n
Z
t
n+i
注：Adams 格式不能从 N 开始使用，必须先通过其他方法得到前 m 个数 (Y
N
, Z
N
) ,(Y
N+1
, Z
N+1
),
. . .,(Y
N−m+1
, Z
N−m+1
) 后，才能使用。
半 Adams 格式的误差估计
(1) 设 (Y
t
, Z
t
) 为 BSDE 的解，(Y
N
t
, Z
N
t
) 为 Adams 格式的解，R
n
y
，R
n
z
为截断误差项，则当 ∆t
足够小时，有
R
n
y
⩽ C(∆t
n
)
m+2
|R
n
z
| ⩽ C(∆t
n
)
m+2
其中：C 是依赖于 T 和 f, φ, u 上界的常数，u 为 PDE 的经典解
(2) 假设 max
N−m⩽j⩽N
E
Y
tj
− Y
N
tj
= O(∆t)
m+1
，则对足够小的 ∆t，有
max
0⩽n⩽N
E
Y
N
t
− Y
t
⩽ C(∆t)
m
+1
其中：C 是依赖于 T 和 f, φ, u 上界的常数，u 为 PDE 的经典解。
1.5 数值实验 1
1. 考虑如下线性 BSDE
−dY
t
= (0 .5Y
t
− Z
t
) dt − Z
t
dW
t
Y
T
= sin (W
T
+ T )
0 ⩽ t ⩽ T
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第一章 倒向随机微分方程 1.5 数值实验 1
此 BSDE 与下列 BSDE 同解
−dY
t
=
0
.
5
Y
t
−
Z
t
Y
2
t
− Z
2
t
dt − Z
t
dW
t
Y
T
= sin (W
T
+ T )
0 ⩽ t ⩽ T
其解析解为：
Y
t
= sin (W
t
+ t)
Z
t
= cos (W
t
+ t)
参数：T = 1，(Y
0
, Z
0
) = (0, 1)，分别取 n = 100, 200, 400, 800。那么 |
ˆ
Y
0
− Y
0
| ，|
ˆ
Z
0
− Z
0
| 的误
差和收敛率如表所示，并绘制 log
2
|
ˆ
Z
0
− Z
0
| 与 log
2
∆t 的绝对误差。
2. 考虑如下非线性 BSDE
−dY
t
=
−Y
3
t
+ 2.5Y
2
t
− 1.5Y
t
dt − Z
t
dW
t
Y
T
=
exp (W
T
+ T )
exp (W
T
+ T ) + 1
0 ⩽ t ⩽ T
其解析解为：
Y
t
=
exp (W
T
+ T )
exp (W
T
+ T ) + 1
Z
t
=
exp (W
T
+ T )
(exp (W
T
+ T ) + 1)
2
参数：T = 1，(Y
0
, Z
0
) = (0 .5, 0.5)。
3. 考虑如下二维非线性 BSDE
−dY
t
= AY
t
|Y
t
|
2
dt − Z
t
dW
t
Y
T
=
sin
(
W
T
+
T
)
Y
T
= cos (W
T
+ T )
其中：Y
t
=
y
1
(t)
y
2
(t)
，A = (
0.5 1
1 0.5
)，|Y
t
|
2
= y
2
1
(t) + y
2
2
(t)。
其解析解为：
Y
t
=
sin (W
t
+ t)
cos (W
t
+ t)
Z
t
=
sin (W
t
+ t)
cos (W
t
+ t)
参数：T = 1，Y
0
= (
0
1
) ，z
0
= (
0
1
)
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1.6 正倒向随机微分方程基本理论 第一章 倒向随机微分方程
4. 考虑如下 BSDE
−dY
t
=
−3 exp (−t) Y
t
2|Y
t
|
2
dt − Z
t
dW
t
Y
T
=
exp (−t) sin
W
T
+
1
2
exp (−t) cos
W
T
+
1
2
其中：Y
t
=
y
1
(t)
y
2
(t)
，|Y
t
|
2
= y
2
1
(t) + y
2
2
(t)。其解析解为：
Y
T
=
exp (−t) sin
W
T
+
1
2
exp (−t) cos
W
T
+
1
2
Z
T
=
exp (−t) sin
W
T
+
1
2
exp (−t) cos
W
T
+
1
2
参数：T = 1，Y
0
=
sin
1
2
cos
1
2
，z
0
=
sin
1
2
cos
1
2
1.6 正倒向随机微分方程基本理论
1.6.1 FBSDE 的一般形式
关于 BSDE 的问题先暂时告一段落。我们来梳理一下前面的内容，从组合投资模型问题
(1.2.1) 出发，引出了一般的非线性 BSDE 问题，然后将非线性 BSDE 完全化 (规范化)，紧接着
给出 BSDE 的理论问题：¬ BSDE 的解存在唯一性 Feynman-kac 公式® 比较定理。最后，讨
论了 BSDE 的数值解法：¬ Euler 格式 θ 格式® 变分 θ 格式 ¯ Adams 格式，并给出数值格式
的收敛性与误差估计。下面，我们来讨论 FBSDE 问题。
前面，我们从组合投资问题 (1.2.1) 引出了 BSDE 问题，但就像前面模型部分所展示的那样，
还有一个期权定价问题 (1.2.2)，从这个问题出发，可以引出下面的 FBSDE 问题。
传统的非线性 BSDE 模型如下：
−dY
t
= f (t, Y
t
, Z
t
) dt − Z
t
dW
t
Y
T
= ξ = φ (x)
0 ⩽ t ⩽ T
由前面的期权定价问题 (1.2.2)，我们可以给出一般的 FBSDE(我们仍然用大写的 (X
t
, Y
t
, Z
t
) 表
示随机过程，和普通函数 (x
t
, y
t
, z
t
) 区分开)。
dX
t
= b (t, X
t
, Y
t
, Z
t
) dt + σ (t, X
t
, Y
t
, Z
t
) dW
t
dY
t
= f (t, Y
t
, Z
t
) dt − Z
t
dW
t
X (0) = x
0
= h (Y
0
)
y (T ) = y
T
= φ (X
T
) = ξ
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第一章 倒向随机微分方程 1.6 正倒向随机微分方程基本理论
上面是 FBSDE 的一般形式，其积分形式表示为
X
t
= x
0
+
t
0
b (t, X
t
, Y
t
, Z
t
) dt +
t
0
σ (t, X
t
, Y
t
, Z
t
) dW
t
Y
t
= φ(X
T
) +
T
t
(t, X
t
, Y
t
, Z
t
) dt −
T
t
Z
t
dW
t
将上述模型完备化 (规范化)：¬量的空间映射的空间取值®解域。
设 X
t
是 n 维，Y
t
是 m 维，W
t
是 d 维 Brown 运动，Z
t
是 m × d 维。
X
t
∈
R
n
, X
0
∈ R
n
X
t
为一随机变量 (亦可为常量)。
Y
t
∈ R
m
, Y
T
∈ R
m
Y
T
为一随机变量
h(Y
0
) : R
m
→ R
n
φ(X
T
) : R
n
→ R
m
Z
t
∈ R
m×d
t ∈ [0, T ]
b : Ω ×[0, T ] × R
n
× R
m
× R
m×d
−→ R
n
(n 维漂移标量函数)
σ : Ω × [0, T ] ×R
n
× R
m
× R
m×d
−→ R
n×d
(n × d 维漂移标量函数)
f : Ω × [0, T ] ×R
n
× R
m
× R
m×d
−→ R
m
(m 维漂移标量函数)
(X
t
, Y
t
, Z
t
) 为随机过程，对某一具体时刻 s 而言，f (s, X
s
, Y
s
, Z
s
) 为一随机变量。设 (Ω, F, P )
是一个 (完备) 概率空间。W
t
是一个 d 维 Brown 运动，定义 W
s
的 σ 代数为
F
t
= σ {W
s
|0 ⩽ s ⩽ t}
{F
t
}
T
t
为 W
t
产生的自然信息族 (σ 代数流)，并且将所有零测集 N 包含其中，即 F
t
修改为：
F
t
= σ{N ∪σ {W
s
|0 ⩽ s ⩽ t}}。同前面 BSDE 的记法，记：t 时刻 F
t
可测且平方可积的随机变量
集合为 L
2
(F
t
; R
m
)，Y
t
∈ L
2
(F
T
; R
m
)。记：在 [0, T ] 上 {F
t
} 适应，且平方可积的随机过程集合为
L
2
F
t
(0, T ; R
m
)。若 (X
t
, Y
t
, Z
t
) 是上式 FBSDE 的解，且 (X
t
, Y
t
, Z
t
) ∈ L
2
F
t
(0, T ; R
m
× R
m
× R
m×d
)，
则称 (X
t
, Y
t
, Z
t
) 是 FBSDE 的 L
2
的适应解。
当 b = b(t, X
t
), σ = σ(t, X
t
) 时，上述 FBSDE 被称为非耦合 FBSDE。b(t, X
t
, Y
t
), σ(t, X
t
, Y
t
)
为弱耦合 FBSDE，b(t, X
t
, Y
t
, Z
t
), σ(t, X
t
, Y
t
, Z
t
) 为强耦合 FBSDE 或全耦合 FBSDE。
注：上述规范化并没有给出 b, σ, f, h, φ 的函数空间，我们将在具体问题中给出其函数空间。下面给
出非耦合 FBSDE 和全耦合 FBSDE 的解存在唯一性及 Feynman-kac 公式。可以参考 1993.An-
tonelli1，1997.Yong29，1998. 吴瑧25和 2002.Delarue8。
1.6.2 FBSDE 解存在唯一性
全耦合 FBSDE
1 解存在唯一性
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1.6 正倒向随机微分方程基本理论 第一章 倒向随机微分方程
令 G 为 m × n 满秩矩阵，u = (x, y, z)
T
且有
A (t, u) =
−G
∗
f
Gb
Gσ
[t, u]
其中：Gσ = (G
σ
, . . . , G∆u)。采用通常意义下 R
n
, R
m
, R
m×d
中的内积和欧几里德范数。
假设：
⟨A (t, u) − A (t, ¯u) , u − ¯u⟩ ⩽ β
1
|Gˆx|
2
− β
2
|Gˆy|
2
+ |Gˆz|
2
h (y) − h (¯y) , G
2
(y − ¯y)
⩽ −µ
2
|G
∗
ˆy|
2
⟨φ (x) − h (¯x) , G (x − ¯y)⟩ ⩾ −µ
1
|Gˆx|
2
其中：∀u = (x, y, z) , u = (¯x, ¯y, ¯z)，且 ˆx = x − ¯x，ˆy = y − ¯y，ˆz = z − ¯z 。β
1
, β
2
, µ
1
, µ
2
⩾ 0，且
β
1
+ β
2
⩾ 0，µ
1
+ µ
2
> 0，β
1
+ µ
2
> 0，β
2
+ µ
1
> 0。并且当 m > n 时，有 β
1
> 0, µ
1
> 0。当
m < n 时，有 β
2
> 0, µ
2
> 0。
再假设:
1.A (t, u) 关于 u 满足全局 L 条件；
2.∀u, A (, u) ∈ L
2
F
t
(0, T )；
3.h(y) 关于 y 满足全局 L 条件；
4.φ(x) 关于 x 满足全局 L 条件；
5.∀x, φ(x) ∈ L
2
(F
T
)；
6.∀y, h(y) ∈ L
2
(F
0
)。
在上述假设成立的情况下，全耦合 FBSDE 存在唯一解 (X
t
, Y
t
, Z
t
) 且为 L
2
适应解。
2 全耦合 FBSDE 的 Feynman-kac 公式
14
假设 b, σ, f, φ 关于 (x, y, z) 一致连续且关于 t 参数
1
2
-Holder 连续，并且假设 φ ∈ C
2+α
b
(α ∈
(0
,
1))
，且矩阵值的函数
G
=
σσ
T
是一致椭圆的，则全耦合 FBSDE 的解 (X
t
, Y
t
, Z
t
) 可表示为
Y
t
= u (t, X
t
)
Z
t
= u
x
(t, X
t
) σ (t, X
t
)
∀t ∈ [0, T ]
其中：u(t, x) 是下列 PDE 的光滑解
∂u
∂t
+ L
x
u (t, x) + f
t, x, u(t, x)σ
T
∇u
= 0
u (T, x) = φ (x)
，L 是二阶椭圆微分算子。并且，对 k = 0, 1, 2, . . . 若 b, σ ∈ C
1+k,2+2k
b
, f ∈ C
1+k,2+2k,2+2k
b
, φ ∈
C
2+2k+α
b
，则 u ∈ C
1+k,2+2k
b
。
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第一章 倒向随机微分方程 1.6 正倒向随机微分方程基本理论
半耦合 FBSDE
更多时候，我们是在讨论研究非耦合 FBSDE 的，因此，后面将主要介绍非耦合 FBSDE。考
虑下面非耦合 FBSDE。
dX
t,x
s
= b
s, X
t,x
s
ds + σ
s, X
t,x
s
dW
s
s ∈ (t, T ]
dY
t,x
s
= b
s, X
t,x
s
, Y
t,x
s
, Z
t,x
s
ds − Z
t,x
s
dW
s
s ∈ [t, T )
X
t,x
t
= X
0
= h (Y
0
) ∈ R
n
Y
t,x
T
= Y
T
= φ (X
T
) ∈ R
m
下面，给出非耦合 FBSDE 界的存在性与 Feynman-Kac 公式假设：
1. b(t, X
t
), σ(t, X
t
), φ(X
T
) 关于 X 满足全局 L 条件且至多线性增长条件 (SDE 存在唯一弱
解)
2. f
关于
(
x, y, z
)
满足线性增长条件，关于
y, z
满足全局
L
条件
从而 ∀(t, x) ∈ [0, T ] ×R
n
，非耦合 FBSDE 存在唯一解 (X
t,x
s
, Y
t,x
s
, Z
t,x
s
)，且为适应解。并且进一
步，解 Y
t,x
s
, Z
t,x
s
有如下公式 (非线性 Feynman-Kac 公式)
Y
t,x
s
= u(s, X
t,x
s
)
Z
t,x
s
= ∇
x
u(s, X
t,x
s
)σ(s, X
t,x
s
)
∀s ∈ [0, T ] a.s.
其中：u(t, x) 是如下 PDE 的经典解。
∂u
∂t
+ Lu + f(t, x, u, ∇
x
u · σ) = 0
u (T, x) = φ (x)
其中：L 是二阶椭圆微分算子
Lϕ =
1
2
n
i,j=0
a
ij
(t, x)
∂
2
ϕ
∂x
i
∂x
j
+
n
i,j=0
b
i
(t, x)
∂ϕ
∂x
i
a
ij
=
σσ
T
ij
补充说明：例如我们令 t = 0, b = 0, σ = I
n
(单位矩阵)，则 X
0,x
s
= x + W
s
，X
0,x
T
= x + W
T
。此
时，要想解出现在时刻 s(Y
0,x
s
, Z
0,x
s
)，只要将 x + W
s
的值代入下式
Y
0,x
s
i
= u
i
(s, x + W
s
)
Z
0,x
s
i
=
∂u
i
∂x
j
u
i
(s, x + W
s
)
i = 1 , 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n
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1.7 正倒向随机微分方程数值方法 第一章 倒向随机微分方程
其中：u(t, x) 是如下 PDE 的经典解。
∂u
i
∂t
+
1
2
∆u
i
+ f(x, u, ∇u) = 0
u (x, T ) = φ
i
(x)
上面介绍了 FBSDE 解的存在唯一性及 Feynman-kac 公式，下面我们来介绍 FBSDE 的数
值解法。
1.7 正倒向随机微分方程数值方法
国内外对于 FBSDE 的数值解法一般可以分为两类：一类是利用 FBSDE 与 PDE 的关系来
进行求解，另一类是运用分解定理直接对 FBSDE 进行离散求解。
1991.Peng11得到非线性 Feynman-Kac 公式，给出了一类 (正) 倒向随机微分方程与一类拟
线性二阶 PDE 解之间的对应关系。这引发了两个方向的工作：1. 从 Feynman-Kac 公式作为
PDE 的解构造了 MC 型的随机算法，我们自然想到：能否用非线性 Feynman-Kac 公式来计算非
线性 PDE。2. 另一方面的工作是借助 PDE 来求解 FBSDE。1994.Ma,Protter,Yong18借助非线
性 F-K 公式提出了求解 FBSDE 的四步法
°
。1996.Douglas, Ma, protter9基于四步法：用 Euler
方法求解 SDE，然后用特征法和差分法求解 PDE。
1.7.1 四步法
下面，介绍全耦合 FBSDE 的四步法
Step1：定义一个函数 z(t, x, y, p) : [0, T ] × R
n
× R
m
× R
m×n
→ R
m×d
。z 满足 ∀(t, x, y, p)，有
pσ (t, x, y) + ˆσ (t, x, y, z (t, x, y, p)) = 0
Step2：使用上述 z，求解以下抛物型偏微分方程 (PDE)，得到 u(t, x)。对 k = 1, 2, . . . , n，
∀(t, x) ∈ [0, T ] × R
n
。
u
k
t
+
1
2
tr
u
k
xx
σ (t, x, u) σ(t, x, u)
T
+
b (t, x, u, z (t, y, u, u
x
)) , u
k
x
+
ˆ
b
k
(t, x, u, z (t, y, u, u
x
)) = 0
u(T, x) = φ(x)
Step3：将求解得到的 u(t, x) 和 z 代入 SDE：
X
t
= x
0
+
t
0
˜
b (s, X
s
) ds +
t
0
˜σ (s, X
s
) dW
s
其中：
˜
b(t, x) = b(t, x, u(t, x), z(t, x, u(t, x), u
x
(t, x)))；˜σ(t, x) = σ(t, x, u(t, x))。
Step4：最终，令
Y
t
= u (t, X
t
)
Z
t
= z (t, X
t
, u (t, X
t
) , u
x
(t, X
t
))
°
注：四步法用于求解全耦合 FBSDE。
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第一章 倒向随机微分方程 1.7 正倒向随机微分方程数值方法
则 (X
t
, Y
t
, Z
t
) 即为全耦合 FBSDE 的一个适应解。
下面，介绍一些适用于非耦合 FBSDE 的数值方法 (格式)。与前面介绍的 BSDE 非常相似，
只是增加了正向 SDE 的问题，我们可以将 BSDE 的数值方法平行推广到非耦合 FBSDE：Euler
格式和半 θ 格式等。
1.7.2 Euler 格式
2004.zhang30提出求解有路径依赖终端值得 FBSDE 的 Euler 格式，并证明了 Euler 格式的
强 0.5 阶收敛性。2006.Gobet,Labart15将 Euler 格式的收敛性推广到 L
p
，并证明 L
p
意义下的
强
0.5
阶收敛性和弱
1
阶收敛性。
2008.Bender,zhang
2提出了求解弱耦合 FBSDE 的 Euler 格式
和 Markobian 迭代的 Euler 格式。
Euler 格式
给定 X
0
, Y
N
, Z
N
，对 n = N − 1, N − 2, . . . , 1, 0，有
X
t
n+1
= X
t
n
+ b (t
n
, X
n
) ∆t
n
+ σ (t
n
, X
n
) ∆W
t
n+1
Y
t
n
= E
Y
t
n+1
|F
t
n
+ f (t
n
, X
t
n
, Y
t
n
, Z
t
n
) ∆t
n
Z
t
n
=
1
∆t
n
E
Y
t
n+1
∆W
t
n+1
|F
t
n
Euler 格式的强半阶收敛性
上面给出了 Euler 格式，下面给出 Euler 格式的收敛性。
max
0⩽n⩽N−1
sup
t∈[t
n
,t
n+1
]
E
Y
t
n
− Y
N
t
n
2
+
N−1
n=0
t
n+1
t
n
E
Z
t
n
− Z
N
t
n
2
dt ⩽ C
T
N
其中：各个量的定义如前，(Y
t
, Z
t
) 为解析解，(Y
t
n
, Z
t
n
) 为解析解在 t
n
处的值，(Y
N
t
n
, Z
N
t
n
) 为
Euler 格式在 t
n
处的值。
1.7.3 θ 格式
半 θ 格式
仍然采用前面的步骤：
¬时间划分
对时间区间 [0, T ] 划分为 N 段，记划分方法为 τ 。
0 = t
0
< t
1
< . . . < t
N
= T
令 ∆t
n
= t
n
+1
− t
n
, n = 0 , 1, . . . , N − 1，∆t = max
n
∆t
n
，且要求划分 τ 有如下性质：
max
n
∆t
n
min
n
∆t
n
⩽ C
0
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1.7 正倒向随机微分方程数值方法 第一章 倒向随机微分方程
离散 FBSDE
令终端情况 Y
t
n
,x
n
T
= φ
X
t
n
,x
n
T
，对 t ∈ [t
n
, T ](n = N −1, N −2, . . . , 1, 0) ，将 FBSDE 离
散为下列方程
X
t
n
,x
n
t
= X
n
+
t
t
n
b
s, X
t
n
,x
n
s
ds +
t
t
n
σ
s, X
t
n
,x
n
s
dW
s
Y
t
n
,x
n
t
= Y
t
n
,x
n
T
+
T
t
f
s, X
t
n
,x
n
s
, , Y
t
n
,x
n
s
, Z
t
n
,x
n
s
ds −
t
t
Z
t
n
,x
n
s
dW
s
t ∈ [t
n
, T ] n = N − 1, N − 2, . . . , 1, 0
其中：X
n
≈ x。并且设上述离散 FBSDE 存在唯一解 {X
t
n
,x
n
t
, Y
t
n
,x
n
t
, Z
t
n
,x
n
t
}(t ∈ [t
n
, T ])。
®求解 X
t
n+1
, Y
t
n+1
, Z
t
n+1
的迭代格式
✓对 FBSDE 的 SDE 利用如下的数值方法进行求解
X
t
n+1
=X
t
n
+ϕ (t
n
, X
t
n
, ∆t
n
, ξ
n+1
)
其中：n = 0 , 1, . . . , N − 1，X
0
= X
0
，ξ
n+1
为随机变量。并且假定该数值方法有如下性质：
E
x
n
t
n
g
X
t
n
,x
n
t
n+1
− g
X
t
n+1
⩽ C
g
1 + |X
t
n
|
2r
1
(∆t)
β+1
E
x
n
t
n
g
X
t
n
,x
n
t
n+1
− g
X
t
n+1
∆W
t
n+1
⩽ C
g
1 + |X
t
n
|
2r
2
(∆t)
γ+1
E
g
X
t
n
,x
n
t
n
− g (X
t
n
)
⩽ C
g
(∆t)
β
其中：X
t
n+1
, X
t
n
为数值解，β + 1, γ + 1 叫做逼近的局部阶。r
1
, r
2
∈ Z，g ∈ C
2β+2
b
。
注：SDE 的 Euler 方法，Milstein 方法等都具有上述性质，并且有下述稳定性：
max
0⩽n⩽N
E|X
t
n
|
r
= C (1 + E|X
0
|
r
)
其中：r ∈ N; C ∈ (0, ∞)。
✓对 FBSDE 中的 BSDE，来用 θ 格式进行求解
(1) 先求 Y
t
n
的格式。首先对 FBSDE 两边取条件数学期望 E
x
n
t
n
[·]，有
Y
t
n
,x
n
t
n
= E
x
n
t
n
Y
t
n
,x
n
t
n+1
+
t
n+1
t
n
E
x
n
t
n
f(s, X
t
n
,x
n
s
, Y
t
n
,x
n
s
, Z
t
n
,x
n
s
)
ds
然后，用 θ 方法替代上式右边积分项，并记截断误差项为 R
n
Y
，有
Y
t
n
的迭代公式：
Y
t
n
,x
n
t
n
= E
x
n
t
n
Y
t
n
,x
n
t
n+1
+ θ
1
∆tf
t
n
, X
t
n
,x
n
t
n
, Y
t
n
,x
n
t
n
, Z
t
n
,x
n
t
n
+ (1 − θ
1
) ∆tE
t
n
,x
n
t
n
f
t
n+1
, X
t
n
,x
n
t
n+1
, Y
t
n
,x
n
t
n+1
, Z
t
n
,x
n
t
n+1

(2) 再求 Z
t
n
的格式。首先对 FBSDE 中的 BDE 两边同乘 ∆W
T
n+1
= W
t
n+1
− W
t
n
，然后取
条件数学期望 E
x
n
t
n
[·]，由 Ito 等距公式，有
0 = E
x
n
t
n
[Y
t
n
,x
n
t
n
∆W
T
t
n+1
] +
t
n+1
t
n
E
x
n
t
n
[f(s, X
t
n
,x
n
s
, Y
t
n
,x
n
s
, Z
t
n
,x
n
s
)∆W
T
s
]ds
−
t
n+1
t
n
E
x
n
t
n
[Z
t
n
,x
n
s
]ds
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第一章 倒向随机微分方程 1.7 正倒向随机微分方程数值方法
同样用 θ 方法替代上式右边积分项，并记共同的截断误差项为 R
n
Z
，有
Z
t
n
的迭代公式
0 = E
x
n
t
n
[Y
t
n
,x
n
t
n
∆W
T
t
n+1
] + (1 −θ
2
)∆t
n
E
x
n
t
n
[f
t
n+1
, X
t
n+1
, Y
t
n+1
, Z
t
n+1
∆W
T
t
n+1
]
− {θ
3
∆t
n
[Z
t
n
] + (1 −θ
3
)∆t
n
E
x
n
t
n
[Z
t
n+1
]}
由此，我们得到半 θ 格式。下面给出半 θ 格式的误差估计。
半 θ 格式的误差估计
令 (X
t
n
,x
n
t
n
, Y
t
n
,x
n
t
n
, Z
t
n
,x
n
t
n
) 为 FBSDE 的解，(Y
t
n
, Z
t
n
) 为 BSDE 的解，(X
t
n
, Y
t
n
, Z
t
n
) 为半
θ 格式的解。令 R
n
Y
, R
n
Z
为截断误差项
(1) 若 b, σ ∈ C
1,3
b
, f ∈ C
1,3,3
b
, φ ∈ C
3+α
b
(α ∈ [0, 1])，则对 θ
1
, θ
2
∈ [0, 1]，θ
3
∈ (0, 1]，有
|R
n
Y
| ⩽ C(1 + |X
n
|
2
)(∆t
n
)
2
|R
n
Z
| ⩽ C(1 + |X
n
|
2
)(∆t
n
)
2
(2) 若 b, σ ∈ C
2,5
b
, f ∈ C
2,5,5
b
, φ ∈ C
5+α
b
(α ∈ [0, 1])，则对 θ
1
= θ
2
= θ
3
=
1
2
，有
|R
n
Y
| ⩽ C(1 + |X
n
|
4
)(∆t
n
)
3
|R
n
Z
| ⩽ C(1 + |X
n
|
4
)(∆t
n
)
3
其中：C 是依赖于 T 和 b, σ, f, φ, u 导数上界的正常数。
收敛性
令 Y
N
= φ(X
N
), Z
N
= φ
x
(X
N
)σ(t
N
, X
N
)，
(1) 若 b, σ ∈ C
β+1,2β+2
b
, f ∈ C
β+1,2β+2,2β+2
b
, φ ∈ C
2β+2+α
b
(α ∈ (0, 1]))，则当 b, σ, g 充分光滑，
且 b, σ 关于 x 满足线性增长条件时，对足够小的 ∆t，我们有
E
Y
t
n
,x
n
t
n
− Y
t
n
−
θ
6
∆t
Z
t
n
,x
n
t
n
− Z
t
n
2
⩽ C
1 + E
|X
0
|
max
1⩽j⩽5
{4,4r
j
}

(∆t)
min{2,2β,2r}
(2) 若 b, σ ∈ C
2,5
b
, f ∈ C
2,5,5
b
, φ ∈ C
5+α
b
，则对 θ
1
=
1
2
, θ
2
∈ [0, 1], θ
3
= 1 ，和足够小的 ∆t，有
max
0⩽n⩽N
E
Y
t
n
,x
n
t
n
− Y
t
n
2
⩽ C
1 + E
|X
0
|
max{8,4r
1
}

(∆t)
min{4,2β}
max
0⩽n⩽N
E
Z
t
n
,x
n
t
n
− Z
t
n
2
⩽ C
1 + E
|X
0
|
max {8,4r
1
,4r
2
}

(∆t)
min{2,2β−1,2r}
其中：C 是依赖于 C
0
, T 和 b, σ, f, φ, u 导数上界的正常数。注：全 θ 格式不再介绍。
1.7.4 新的 θ 格式
下面，我们来看一种新的 θ 格式，承继之前的半 θ 格式：
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1.7 正倒向随机微分方程数值方法 第一章 倒向随机微分方程
¬时间划分
离散 FBSDE
®求 (X
t
n
, Y
t
n
, Z
t
n
) 的迭代公式
✓X
t
n
不变
✓Y
t
n
不变
✓Z
t
n
改变，如下：
定义 ∆W
s
= W
s
− W
t
n
(s ∈ [t
n
, t
n+1
])，则 ∆W
s
是一个期望为 0，方差为 s − t
n
的标准
Brown 运动。定义 ∆
˜
W
s
= 2∆ W
s
−
3
∆t
n
s
t
n
(r − t
n
)dW
r
，则 ∆
˜
W
s
是一个 Gaussion 过程，且
E
x
n
t
n
∆
˜
W
s
= 0
E
x
n
t
n
∆
˜
W
i
s
· ∆
˜
W
j
s
= 0 (∀i ⩽ j)
E
x
n
t
n
∆
˜
W
i
s
2
= 4 ( s −t
n
) −
6(s − t
n
)
2
∆t
n
+
3(s − t
n
)
3
∆t
2
n
当 s = t
n
+1
时，用 ∆
˜
W
n,
1
表示 ∆
˜
W
t
n,1
，那么 E
x
n
t
n
∆
˜
W
n,1
= 0 且 E
x
n
t
n
∆
˜
W
n,1
2
= ∆ t
n
。在
FBSDE 的 BSDE 方程两边同乘 ∆
˜
W
T
t
n+1
，并取条件数学期望 E
x
n
t
n
[·]，有
0 = E
x
n
t
n
Y
t
n
,x
n
t
n+1
∆
˜
W
T
t
n+1
+
t
n+1
t
n
E
x
n
t
n
f
s, X
t
n
,x
n
s
, Y
t
n
,x
n
s
∆
˜
W
T
t
n+1
ds
− E
x
n
t
n
t
n+1
t
n
Z
t
n
,x
n
s
dW
s
· ∆
˜
W
t
n+1
对上式右端的积分项进行如下处理
t
n+1
t
n
E
x
n
t
n
f
s, X
t
n
,x
n
s
, Y
t
n
,x
n
s
, Z
t
n
,x
n
s
∆
˜
W
T
t
n+1
ds
= ∆ t
n
E
x
n
t
n
f
t
t
n
,x
n
n+1
, X
t
n
,x
n
t
n+1
, Y
t
n
,x
n
t
n+1
, Z
t
n
,x
n
t
n+1
· ∆
˜
W
T
t
n+1
+ R
n
z1
E
x
n
t
n
t
n+1
t
n
Z
t
n
,x
n
s
dW
s
· ∆
˜
W
T
t
n+1
= Z
t
n
,x
n
t
n+1
E
x
n
t
n
∆W
t
n+1
· ∆
˜
W
T
t
n+1
+ R
n
z2
=
1
2
∆t
n
Z
t
n
,x
n
t
n+1
+ R
n
z2
令 R
n
z
= R
n
z1
+ R
n
z2
，由此我们可以得到如下 Z
t
n
的迭代公式
0 = E
x
n
t
n
Y
t
n
,x
n
t
n+1
∆
˜
W
T
t
n+1
+ ∆t
n
E
x
n
t
n
f
t
n+1
, X
t
n
,x
n
t
n+1
, Y
t
n
,x
n
t
n+1
, Z
t
n
,x
n
t
n+1
· ∆
˜
W
T
t
n+1
1
2
∆t
n
Z
t
n
,x
n
t
n
注：关于非耦合 FBSDE 的弱格式，可以参考 2014. 张微26。
http://www.ma-xy.com 32 http://www.ma-xy.com
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第一章 倒向随机微分方程 1.8 数值实验 2
1.8 数值实验 2
1.8.1 非全耦合 FBSDE
X
t
= X
0
+
t
0
X
s
ds +
t
0
σX
s
dW
s
Y
t
= φ(X
T
) −
T
t
1
2
σ
2
Y
s
+
1
σ
Z
s
ds −
T
t
Z
s
dW
s
解析解：
Y
t
= e
−X
t
Z
t
=
e
−X
t
σX
t
参数：X
0
= 0 .01，σ = 0.1，φ(X
T
) = e
−X
T
，t
0
= 0 ，T = 1。
1.8.2 全耦合 FBSDE
X
t
= X
0
+
t
0
X
s
ds +
t
0
σX
s
dW
s
Y
t
= φ (X
T
) −
T
t
1
2
σ
2
Y
s
+
1
σ
Z
s
ds −
T
t
Z
s
dW
s
解析解：
Y
t
= e
−X
t
Z
t
= e
−X
t
σX
t
参数：X
0
= C = 0.01，φ(X
T
) = X
T
，t
0
= 0 ，T = 1。
1.8.3 全耦合 FBSDE
X
t
= X
0
+
t
0
X
s
Y
2
s
+ Z
2
s
ds +
t
0
σdW
s
Y
t
= φ(X
T
) −
T
t
Z
s
−
1
2
Y
s
+
X
s
Z
s
Y
2
s
+ Z
2
s
+ 1
ds −
T
t
Z
s
dW
s
解析解：
Y
t
= sin (t + X
t
)
Z
t
= cos (t + X
t
)
参数：X
0
= C = 0.01，σ = 1，φ(X
T
) = sin (t + X
t
)，t
0
= 0 ，T = 1。
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1.9 FBSDE 的统计推断 第一章 倒向随机微分方程
1.8.4 全耦合 FBSDE
X
t
= X
0
+
t
0
sin (2X
t
) ds +
t
0
t cos X
t
dW
t
Y
t
= φ (X
T
) +
T
t
−cos X
t
−
2 sin X
t
Z
t
t
+ t
2
cos
2
X
2
t
2Y
t
−
3
2
t cos X
t

dt −
T
t
Z
t
dW
t
解析解：
Y
t
= sin (2X
t
) + t cos X
t
Z
t
= t cos X
t
(2 cos (2X
t
) − t sin X
t
)
参数：X
0
= 1 ，(Y
0
, Z
0
) = ( sin 2, 0)，φ(X
T
) = sin (2X
t
) + T cos X
T
。
1.9 FBSDE 的统计推断
1.9.1 引例
考虑如下 FBSDE 的参数估计问题
X
t
= X
0
+
T
t
b (s, X
s
)ds +
t
0
σ (s, X
s
) dW
s
Y
t
= Y
T
+
T
t
f (s, X
s
, Y
s
, Z
s
) ds −
T
t
Z
s
ds
X
0
= x
Y
T
= φ (X
T
) = ξ
0 ⩽ t ⩽ T
(1.16)
其中：f (s, X
s
, Y
s
, Z
s
|θ) 是包含参数 θ 的映射，可以是线性映射也可以是非线性映射。下面，介
绍 FBSDE 终端相依的半参数估计和终端控制变量估计。
2006.Yang,Yang28考虑了 BSDE 模型基于 t 的非参数估计问题。2010.Lin16介绍了一类将方
差项嵌入均值回归系数的模型
E [Y
T
|X
t
] = f (θ
t
, Y (X
t
) , Z (X
t
))
√
∆t
V ar
¯
Y
T
|X
t
= Z
2
(X
t
)
并于该模型在线性模型和时变模型前提下的均值结构提出相应的估计办法。
2009.Su,Lin 24研究了线性 FBSDE(特例) 的半参数估计和检验问题
dY
t
= ( cY
t
+ µZ
t
) dt + Z
t
dW
t
dX
t
= µX
t
dt + σX
t
dW
t
X
0
= x
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第一章 倒向随机微分方程 1.9 FBSDE 的统计推断
2010.Chen,Lin6讨论了一般形式 FBSDE 的衍生模型系数的非参数估计方法
− dY
t
= g(t, X
t
, Y
t
, Z
t
|β)dt − Z
t
dW
t
dX
t
= b(t, X
t
, Y
t
, Z
t
|β)dt + σ(t, X
t
, Y
t
, Z
t
)dX
t
X
0
= x
1.9.2 预备知识
不可观测的倒向元 Z
t
的统计推断是 FBSDE 中首先要考虑的推断问题。下面，给出 Z
t
的
条件矩的近似 (即 Z
t
可表示为条件期望近似的形式)。
考虑
dY
t
= µ (t, X
t
) dt + σ (t, X
t
) dW
t
dX
t
= −f (t, X
t
, Y
t
, Z
t
) dt + Z
t
dW
t
Y
T
= φ (X
T
)
X
0
= x
有：Z
2
t
n
=
1
∆t
n
E
Y
t
n+1
− Y
t
n
2
|X
t
n
= x
+ O (∆t
n
)。特别地：当 dY
t
= −f
t
dt + Z
t
dW
t
Y
t
n+1
− Y
t
n
= −f
t
∆t
n
+
t
n+1
t
n
(f
s
− f
t
n
) ds+Z
t
n
W
t
n+1
− W
t
n
+
t
n+1
t
n
(Z
s
− Z
t
n
) dW
s
(1) 右端第二项在某些一般性条件下为无穷小量 (例如生成元 f 有界)，则
t
n+1
t
n
(f
s
− f
t
n
) ds = O (1)
t
n+1
t
n
ds = O (t
n
)
(2) 右端第三项中的 Z
t
W
t
n+1
− W
t
n
，当 Z
t
为连续时，有
E
1
√
∆t
t
n+1
t
n
(Z
s
− Z
t
n
) dW
s
2
= E
1
√
∆t
t
n+1
t
n
(Z
s
− Z
t
n
)
2
ds
→ 0
(3) 进而第四项有
o
p
√
∆t
=
t
n+1
t
n
(Z
s
− Z
t
n
) dW
s
⇔
1
√
∆t
t
n+1
t
n
(Z
s
− Z
t
n
) dW
S
= o
p
(1)
因此
Y
t
n+1
− Y
t
n
= −f
t
∆t
n
+ Z
t
n
W
t
n+1
− W
t
n
+ O (∆t
n
) + o
p
∆t
n
= −f
t
∆t + Z
t
n
W
t
n+1
− W
t
n
+ O
p
(∆) (1.17)
记 W
t
n+1
− W
t
n
= ∆ W
t
=
√
∆t
n
ξ
n
，其中：ξ
n
iid
∼
N(0, 1) 且独立于 X
t
。对式 (1.17) 两边取
平方，有
Y
t
n+1
− Y
t
n
2
= Z
2
t
n
ξ
2
n
∆t
n
+ o
p
(∆t
n
)
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1.9 FBSDE 的统计推断 第一章 倒向随机微分方程
故
Z
2
t
n
ξ
2
n
=
Y
t
n+1
− Y
t
n
2
∆t
n
+ o
p
(1)
取条件期望
E
Z
2
t
n
ξ
2
n
|X
t
= E
Y
t
n+1
− Y
t
n
2
∆t
n
X
t
+ o (1) = Z
2
t
n
1.9.3 积分型 FBSDE 的半参数统计推断
对积分型 FBSDE(1.16)，我们将 −
T
t
Z
s
dW
s
视为误差项 ϵ
t
，则有
Y
t
= ξ +
T
t
f (s, Y
s
, Z
s
|θ) ds + ϵ
t
并且 ϵ
t
有如下性质：
1. E
T
t
Z
s
dW
s
= 0
2. V ar
T
t
Z
s
dW
s
= E
T
t
Z
2
s
ds
3. E
T
t
Z
s
dW
s
|X
= 0
由于误差项 ϵ
t
对 X
t
的条件期望非零，这导致参数估计往往是有偏的，但即使如此，在 X
t
混合相依的条件下，我们仍能得到渐进无偏的相合估计。
¬记时间区间 [0, T ] 的划分为 τ
0 = t
0
< t
1
< ··· < t
N
= T (n = 0, 1, 2, . . . , N )
相应的观测数据为 (X
t
n
, Y
t
n
), ∆t
n
= t
n+1
− t
n
, (n = 0, 1, . . . , N − 1)。要求 τ 满足：∆t
N−1
=
O(∆t
n
), (n = 0 , 1, . . . , N −1)。且假设终端条件 ξ 服从某种已知分布。m ⩾
1
∆t
n
，抽取终端样本
{ξ
i
}
m
i=1
。
离散化
Y
t
n
=
ˆ
ξ +
N
j=n
f (t
j
, Y
tj
, Z
tj
)∆t
j
+ O (∆t
j
) + ϵ
t
j
+ V
s
E
ϵ
t
j
= 0
V ar
ϵ
t
j
=
N
j=n
∆t
j
Z
2
t
j
+ V ar (ξ) + O (∆t)
n = 0 , 1, . . . , N
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第一章 倒向随机微分方程 1.9 FBSDE 的统计推断
其中：
ˆ
ξ =
1
m
m
i=1
ξ
i
, E(V
s
) = 0 , V ar(V
s
) = V ar(ξ)(1 +
1
m
)。
®Z
t
的非参数估计
接下来考虑上述离散型 FBSDE 的估计。由于生成元 f 中不仅包含参数 β，还包含不可观测
过程 Z
t
，所以，有必要先给出 Z
t
的估计，再代入 f 中，进而用相应的参数估计方法估计 β(即
半参数估计)。
记 Z
t,x
s
表示满足初始条件 (t, x) 的 Z
s
，Z
s
是 X
t,x
s
的函数 (s ∈ [t, T ])，则 Z
2
t
的条件矩近
似为
ˆ
Z
t,X
t
s
2
=
1
∆t
n
E
Y
t
n+1
,X
t
n+1
s+∆t
n
− Y
t
n+1
,X
t
n+1
s
|X
t
n
2
+ O
p
(∆t) =
ˆ
Z
s
当 s = t
n
时，有
ˆ
Z
t
n
2
=
1
∆t
n
E
Y
t
n+1
,X
t
n+1
t
n+1
− Y
t
n
,X
t
n
t
n
|X
t
n
2
+ O
p
(∆t) =
ˆ
Z
t
n
(1)
如果
Z
t
与
t
的相依关系依赖于
X
t
:
Z
(
X
t
)
，我们可以给出
Z
2
t
在 x
0
处的 N—W 核估计。
ˆ
Z
2
x
0
=
N−1
n=0
∆t
−1
Y
t
n+1
− Y
t
n
2
K
h
x
(X
t
n
− x
0
)
N−1
n=0
K
h
x
(X
t
n
− x
0
)
其中：K
h
x
(·) =
K(·/h)
h
，K(·) 为核函数，h 为相应的窗宽。
(2) 若 Z
t
为 t, X
t
的二元函数：(z(t, X
t
))，则 Z
2
t
在 (x
0
, t
0
) 处的估计为
ˆ
Z
2
x
0
,t
0
=
N−1
n=0
∆t
−1
Y
t
n+1
− Y
t
n
2
K
h
x
(X
t
n
− x
0
) K
h
t
(t
n
− t
0
)
N−1
n=0
K
h
x
(X
t
n
− x
0
) K
h
t
(t
n
− t
0
)
其中：h
x
, h
t
为相应的窗宽。
¯生成元 f(·|β) 的半参数估计
上面，我们已经得到了 Z
s
的估计
ˆ
Z
s
(即
ˆ
Z
t
n
)。将
ˆ
Z
t
n
代入离散 FBSDE 中，有
Y
t
n
=
ˆ
ξ +
N
j
=
n
f
t
j
, Y
t
j
,
ˆ
Z
t
j
|β
∆t
j
+ O (∆t
j
) + ε
t
j
n = 0 , 1, . . . , N
其中：ε
t,j
= ϵ
t,j
+ v
s
，E(ξ
t,j
) = 0 。利用最小二乘 (OLS) 等方法求参数 β
min
θ
J (θ) =
N
n=0
Y
t
n
−
ˆ
ξ −
N
j=n
f
t
j
, Y
t
j
,
ˆ
Z
t
j
β
∆
t
j
2
由此，可以得到参数 β 的估计。
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1.9 FBSDE 的统计推断 第一章 倒向随机微分方程
上面的 ¬-¯过程完成了 FBSDE 的半参数估计。下面，给出估计量的渐近性质。现在，我们
来讨论
ˆ
β
2
和
ˆ
Z
t
的大样本性质。为此，首先给出下列正则性条件：
(1)X
t
0
, . . . , X
t
n
是与 ρ-混合相依的。即：ρ 混合系数 ρ(l) → 0 (l → ∞)。
ρ
(
l
) =
sup
{E
[
X
t
n+l
X
t
n
]
−E
[
X
t
n+l
]
E[X
t
n
]}=0
E
X
t
n+l
X
t
n
− E
X
t
n+l
E [X
t
n
]
V ar
X
t
n+l
V ar (X
t
n
)
(2) 对任意的 n = 0 , 1, . . . , N ，有 |Z
t−n
| ⩽ C(a.s)，其中：C 是一个正常数。
(3) 连续核函数 K(·) 关于零点对称，具有 [−1, 1] 上的支撑，且满足
1
−1
K (u) du = 1
σ
2
K
=
1
−1
u
2
K (u) du = 0
1
−∞
|u|
j
K
k
(u) du < ∞ 当j ⩽ k = 1, 2
(4) 当 N → ∞ 时
1
N
U
T
U
p
−→ Σ
1
NT
2
U
T
UV ar (ϵ)
p
−→ Ω
其中：Σ 为非退化矩阵，且满足
0 < C
1
< λ
min
(Σ) < λ
max
(Σ) < C
2
< ∞
λ
min
(Σ), λ
max
(Σ) 为 ε 最小最大特征根。
我们对上述条件进行说明：
1. 条件 (1) 是处理弱相依过程的常规条件，使 X 变为渐近不相关过程
2. 条件 (3) 提供了非参核函数满足的一系列常规条件
3. 条件 (4) 来自于非平稳 ρ− 混合相关过程的中心极限定理条件，用来保证估计量的渐近正
态性
首先，来讨论非参数估计
ˆ
Z
t
的渐近性质，下面给出了估计量
ˆ
Z
t
的渐近偏差和方差。假设
有上面 (1)-(3) 的正则性，且 {X
i
: X
i
∈ (x
0
−h, x
0
+ h), i = 1 , 2, . . . , n} 是平稳的 ρ-混合马尔科
夫过程，且对于 ρ ∈ (0, 1)。其 ρ-混合系数满足 ρ(l) = ρ
l
。假设它的概率密度函数 p(x) 在支撑上
连续有界，且 p(x
0
) > 0, Z
x
0
> 0。且 p(x) 和 Z
x
在 x
0
的邻域内是二阶可微的。当 n → ∞，若
nh → ∞ , nh
5
→ 0, nh∆t
2
→ 0 成立，则
(n − 1) h
ˆ
Z
2
x
0
− Z
2
x
0
D
−→ N
0, Z
4
x
0
J
K
/p(x
0
)
其中：J
K
=
1
−1
K
2
(u) du < ∞。
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第一章 倒向随机微分方程 1.9 FBSDE 的统计推断
接下来给出估计量
ˆ
β
I
的渐近性质。假设有上面 (1)—(4) 的正则性，且 {X
i
} 是来自的 ρ-混
合系数满足 ρ(l) = ρ
l
的平稳 ρ− 混合马尔科夫过程，对于 (ρ ∈ (0, 1))。假设它的概率密度函数
p(x) 在支撑上连续有界，在支撑的内点 x
0
，有 p(x
0
) > 0, Z
x
0
> 0，且 p(x) 和 Z
x
在 x
0
的邻域
内是二阶可微的。当 n → ∞ 时，若 nh → ∞, nh
5
→ 0, nh∆t
2
→ 0 ，那么
√
n
ˆ
β − β
d
−→ N
0, σ
2
Σ
−1
+ Σ
−1
ΩΣ
−1
其中：σ
2
= V ar (ξ/T )。
注：这说明
ˆ
β 具有渐近相合性，其收敛速度是标准的
√
n 阶，并且
ˆ
β 为全局估计。
1.9.4 FBSDE 模型的终端控制变量推断
注：终端控制变量半参数估计具有相合性和渐近正态性。对 FBSDE 的扩散项 Z
t
取条件 ξ，是
其作为终端控制变量进入方程。由 Brown 运动的基本性质，显然有 E(Z
t
n
(W
t
n+1
− W
t
n
) |X
t
n
) =
0。而 E(Z
t
n
(W
t
n+1
− W
t
n
) |X
t
n
, ξ
n
) = 0 ，这意味着在模型中直接导入终端控制会导致模型偏差。
为此，我们将 FBSDE 中的倒向方程改写为
Y
t
n+1
= Y
t
n
= −f (t
n
, Y
t
n
, Z
t
n
|β ) ∆t
n
+ m (X
t
n
, ξ
n
) + u
t
n
其中：
m (X
t
n
, ξ
n
) = E
Z
t
n
W
t
n+1
− W
t
n
|X
t
n
, ξ
u
t
n
= Z
t
n
W
t
n+1
− W
t
n
− m (X
t
n
, ξ
n
)
(1.18)
且 E (u
t
n
|X
t
n
ξ ) = 0。
由于式 (1.18) 中函数 m(X
t
n
, ξ) = 0 和 β 的估计均依赖于不可观测过程 Z
t
。所以，我们仍
然先给出 Z
t
的估计。
假设终端条件 ξ 服从某个已知分布，从该分布中抽取 m 个样本 {ξ
i
}
m
i
。其中，样本 m 满
足 m ⩾
1
∆t
，记 [0, T ] 时间划分 τ ，{X
t
n
, Y
t
n
}
N
n=0
为一次观测样本数据，则记录观测数据为
{X
t
n
,j
, Y
t
n
,j
}(n = 0 , 1, . . . , N ; j = 1, 2, . . . , m)，即 [0, T ] 时间上，观测 m 次。
沿用前面对 Z
t
的估计：
¬ 若 Z
t
与 t 的相依仅依赖于 X
t
，则对每个 ξ
j
, Z
2
t
在 x
0
处的 N-W 型估计为
ˆ
Z
2
x
0
,j
=
N−1
n=0
∆t
−1
Y
t
n+1
,j
− Y
t
n
,j
2
K
h
x
(X
t
n
,j
− x
0
)
N−1
n=0
K
h
x
(X
t
n
,j
− x
0
)
若 Z
t
为 t, X
t
的二元函数，则 Z
2
t
在 (x
0
, t
0
) 处的 N-W 型估计为
ˆ
Z
2
x
0
,t
0
j
=
N−1
n=0
∆t
−1
Y
t
n+1
,j
− Y
t
n
,j
2
K
h
x
(X
t
n
,j
− x
0
) K
h
t
(t
n
− t
0
)
N−1
n=0
K
h
x
(X
t
n
,j
− x
0
) K
h
t
(t
n
− t
0
)
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1.9 FBSDE 的统计推断 第一章 倒向随机微分方程
接下来，估计 ˆm,
ˆ
β。对观测间隔 ∆t 分两种情况进行讨论：
一方面，∆t → 0，则 f (t, Y
t
, Z
t
|β)∆t 成为 Z
t
n
(W
t
n+1
− W
t
n
) 的高阶无穷小量，从这个意义
上说明，结合式 (1.18)，忽略 f(t, Y
t
, Z
t
|β)∆t 项可得到
m (X
t
n
, ξ) ≈ E
Y
t
n+1
− Y
t
n
|X
t
n
, ξ
这意味着，我们可以对函数 m 采用普通的非参数估计方法。例如 m 在 (x
0
, ξ
0
) 处的 N-W 型核
估计
ˆm(x
0
, ξ
0
) =
N−1
n=0
m
j=1
Y
t
n+1
,j
− Y
t
n
,j
K
h
x
(X
t
n
,j
− x
0
) K
h
ξ
(ξ
j
− ξ
0
)
N−1
n=0
m
j=1
K
h
x
(X
t
n
,j
− x
0
) K
h
ξ
(ξ
j
− ξ
0
)
ˆm (x
0
, ξ
0
)，
ˆ
Z
2
x
0
,j
分别为 m(x
0
, ξ
0
), Z
2
x
0
,j
的相合估计，将模型中的 Z
t
, m 替换为估计后，凭借一
般的参数估计就可以得到 β 的
1
√
n
的相合估计，并且它们是渐近正态的。
另一方面，在分析处理实际数据时，∆t → 0 的速度可能不那么快。为此，我们需要构建未
删失有效信息的更稳健的估计
m (X
t
n
, ξ) = E
Y
t
n+1
− Y
t
n
+ f (t
n
, Y
t
n
, Z
t
n
|β ) ∆t
n
|X
t
n
, ξ
类似于经典的半参数模型侧面估计法，给定参数 β 时，非参数部分的 N-W 型核估计为
˜m
β
(x
0
, ξ
0
) =
N−1
n=0
m
j=1
Y
t
n+1
,j
− Y
t
n
,j
+ f
t
n
, Y
t
n
,j
,
ˆ
Z
t
n
,j
|β
∆t
n
K
h
x
(X
t
n
,j
− x
0
) K
h
ξ
(ξ
j
− ξ
0
)
N−1
n=0
m
j=1
K
h
x
(X
t
n
,j
− x
0
) K
h
ξ
(ξ
j
− ξ
0
)
再将 ˜m
β
(x
0
, ξ
0
)，
ˆ
Z
2
x
0
,j
带入模型中，利用普通参数估计方法可得到 β 的估计。
下面，给出半参数估计
ˆ
β
T C
的渐近性质：假设 (1)—(4)，并且当 n, m → ∞，有
1
m
(
n
−
1)
G
T
G
p
−→Σ
t
{X
i
}
n
i=1
来自平稳的 ρ-混合马尔科夫过程，对于 (ρ ∈ (0, 1)) 有 ρ(l) = ρ
l
�(X
t
, ξ) 有概率密度函数
P
X
t
,ξ
(x
0
, ξ
0
) 。此外，P
X
t
,ξ
(x
0
, ξ
0
) ，m(x
0
, ξ
0
) 和 Z
x
0
,ξ
0
在 (x
0
, ξ
0
) 的邻域内存在二阶连续导数。
当 n, m → ∞ , h → ∞ 时，若 nmh
2
→ ∞ ，则有
(n − 1)m
ˆ
β
0
− β
d
−→ N
0, σ
2
u
Σ
−1
t
注：1.n = N 即为时间划分数，m 为样本数。2. 关于窗 h
0
的选取可以采用经验法，CV，GCV
等方法。例：h
x
= std(x)n
−
1
5
。
对于 BSDE 的扩展，可以尝试仿照 SDE 模型结构的扩展，考虑 Poisson 跳、Markov 切换、
延迟、分数阶和中立型等等模型结构的扩展。
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参考文献
[1] Antonelli. Backward forward stochastic dierential equation. 1993.
[2] Bender. Time discritization and markobizn iteration for coupled fbsdes. 2008.
[3] Bismnt. Conjuate convex functions in optional stochastic control. 1973.
[4] Bismut. Control des systems linearires quaadvatiques:applications delintegrale stochastique.
1978.
[5] Bismut. An introductory approach to duality in optimal stochastic control. 1978.
[6] Lin Chen. Nonparametic estimation for fbsdes models with appllications in famce. 2010.
[7] Pardoux Daring. Backward stochastic dierential equation with random termind time. 1997.
[8] Delarue. On the wxistance and uniquenss of solutions to fbsdes in a non-degere rate case.
2002.
[9] protter Douglas, Ma. Numerical methods for forward-backward stochastic dierential equa-
tion. 1996.
[10] Ouenei EI.Karoui, Peng. Backward stochastic dierential equation in france. 1997.
[11] Peng S G. A generalized hamilton-jacobi bellman equation. 1991.
[12] Peng S G. A generalized dynamic programming principle and hamilton-jacobi bellman
equation. 1992.
[13] Peng S G. Backward stochastic dierential equation and application to optimal control.
1993.
[14] Labar Gobet. Error expansion for the distretization of backward stochastic dierential
equation. 2007.
[15] Labart Gobet. Error expansion for the discretization of backward stochastic dierential
equation. 2006.
41
http://www.ma-xy.com
参考文献 参考文献
[16] Lin. Mean volatility regressions. 2010.
[17] Yong Ma. Forward-backward stochastic dierential equation and their applications. 1999.
[18] Yong Ma, Protter. solving forward backward stochastic dierential equation explicity -a
four step scheme. 1994.
[19] zhang Ma. Representation theorems for backward stochastic dierential equations. 2002.
[20] Peng S G Pardoux. Backward stochastic dierential equations and quasilinear parabolic.
1992.
[21] Peng S G Pardoux E. Adapted solution of a backward stochastic dierential equation. 1990.
[22] Peng Pardouxi. Backward stochastic dierential equation and quasilinear parabolis partial
dierential equation. 2007.
[23] Torres Protter, San Martin. Numerical method for backward stochastic dierential equa-
tions. 2002.
[24] Lin Su. Semi - parametic estimation for fbsde. 2009.
[25] 1998. 吴瑧. 一般形式的正倒向随机微分方程适应解及参数依赖性.
[26] 2014. 张微. 非耦合、弱耦合正倒向随机微分方程的高阶数值方法和误差估计.
[27] Peng Xu. Numerical algorithms for bsdes :convergence and simulations. 2006.
[28] Yang Yang. Nonparametic estimation and simulation of bsde. 2006.
[29] Yong. Finding adapted soultions of backward forward stochastic dierential equation meth-
ods of continuation. 1997.
[30] zhang. A numerical scheme for sdes. 2004.
[31] Ju zhao, zhang. A stable multistep schene for solving backward stochastic dierential equa-
tions. 2010.
[32] peng zhao, chen. A new kind of accurate numerical method for backward stochastic dier-
ential equation. 2006.
[33] peng zhao, wang. error estimate of the theta-schene for backward stochastic dierential
equation. 2006.
[34] zhang zhao, li. A generalized theta-schene for solving backward stochastic dierential equa-
tions. 2012.
http://www.ma-xy.com 42 http://www.ma-xy.com