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目录
第一章 积分方程 1
1.1 积分方程建模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 弦振动积分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 人口增长积分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 积分方程基本内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 积分方程解的存在唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Fridholm
定理
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 积分方程数值解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 第二类 Fredholm 积分方程的数值方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 第二类 Volterra 积分方程的数值方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
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第一章 积分方程
1.1 积分方程建模
1.1.1 弦振动积分方程
在偏微分方程建模部分以及引入 Sobolev 时，我们讨论了弦振动问题的方程，这里，我们再
一次来考虑弦振动问题。考虑柔软均匀的细弦，将弦两端固定，当受到与平衡位置垂直的外作用
力时，弦开始振动。假设运动发生在同一平面 (仅上下振动)，求不同时间 t 弦上各点的坐标，换
句话说，求不同时间 t 的弦曲线。
以弦左端点处为坐标原点 O 点，以弦平衡 (静止) 位置为 x 轴，垂直向上为 u 轴，建立坐标
系 xOu，如图 (??) 所示。设弦长为 l，外力为 f(x)，重力为 G，求 t 时刻各点位置，即 u(x, t)。
先考虑在某一点 x = ξ 处由力 f (x) 所产生的扰动，或者说力 f (x) 使弦在点 x = ξ 处上升
了多少，如图 (1.1) 所示
图 1.1: 某点处的弦扰动示意图
设最大上升距离为 δ，即扰度 (扰动量)。假设扰动量 δ 是微小的，有
sin θ
1
≈ tan θ
1
=
δ
ξ
sin θ
2
≈ tan θ
2
=
δ
l −ξ
设弹性弦张力为 T
0
，在 u 轴方向有受力平衡方程
T
0
sin θ
1
+ T
0
sin θ
2
= f
0
即
T
0
δ
ξ
+ T
0
δ
l −ξ
= f
0
1
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1.1 积分方程建模 第一章 积分方程
所以
δ =
f
0
(l −ξ)
T
0
l
ξ
在
ξ
处产生的曲线为
ϕ(x) =
f
0
(l −ξ)
T
0
l
x, 0 ⩽ x ⩽ ξ
f
0
(l −x)
T
0
l
ξ, ξ ⩽ x ⩽ l
设
G(x, ξ) =
(l −ξ)
T
0
l
x, 0 ⩽ x ⩽ ξ
(l −x)
T
0
l
ξ, ξ ⩽ x ⩽ l
是单位力 f
0
= 1 所产生的变形曲线，易知 G(x, ξ) = G(ξ, x)。由于 f(x) 连续，则在微元段
[ξ, ξ + dξ] 上的作用力为
f
0
= f(ξ)dξ
所以微元上的扰动曲线为
G(x, ξ)f(ξ)dξ
所以整体的扰动曲线 (弦曲线) 为微元累加
u(x) =
l
0
G(x, ξ)f(ξ)dξ (1.1)
1.1.2 人口增长积分方程
我们在常微分方程建模部分讨论了人口增长模型，下面再简单讨论一下人口增长模型。设 t
0
时刻的人口总数为 n
0
，设 f(t, τ) 表示 τ 时刻出生的到 t 时刻仍然存活的人占 τ 时刻出生人数的
比例，设 r(t) 为出生率，则 t 时刻人口总数为
n(t) = n
0
+
t
t
0
f(t, τ)r(τ )dτ
假设出生率 r(t) 仅与 t 时刻的人口总数成正比，即
r(t) = kn(t)
则有
n(t) − k
t
t
0
f(t, τ)n(τ )dτ = n
0
(1.2)
当 f(t, τ) 确定之后，即可得到 n(t)。
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第一章 积分方程 1.2 积分方程基本内容
1.2 积分方程基本内容
上面介绍的弦振动方程 (1.1) 和人口增长方程 (1.2) 就是积分方程模型。积分方程与常微分
方程相似，微分方程是 y 与其微分 y
′
的方程，积分方程是 y 与其积分
f 的方程。积分方程的
起源很早，早在 1782 年，Laplace 就运用积分变换
ϕ
(
x
) =
∞
0
e
−xy
ϕ
(
y
)
d
y
来求解微分方程。1826 年，Poisson 在研究磁场理论时获得了一类积分方程
ϕ(x) = f(x) + λ
x
0
k(x − s)ds
其中：ϕ(x) 为未知函数，f, k 为已知函数，λ 为参数。1889 年，duBois-Raynod 首次提出“积分
方程”的名称。1909 年，瑞典数学家 Erik Ivar Fredholm 首次解决了 Fredholm 方程
ϕ(x) = f(x) +
b
a
k(x − s)ds
通常，将积分号下有未知函数 ϕ(x) 的方程为积分方程。就一维情况来看，积分方程的任务
仍然是求函数 ϕ(x) 使其满足一定的条件 (积分方程)，积分方程的概念可以由一维推广到高维。
下面，我们仅就一维积分方程进行介绍。积分方程的一般形式为
A(x)ϕ(x) = λ
b(x)
a(x)
k(x, s )F [ϕ(s)]ds + f(x) a(x) ⩽ x ⩽ b(x)
其中：A, k, f 为已知函数，a(x), b(x) 为已知函数 (可以为常数)，ϕ(x) 为待求函数，F [ϕ(x)] 为
ϕ(x) 的已知泛函，k(x, s ) 核为积分方程的核，f (x) 称为自由项，λ 为参数。
Fredholm 方程和 Volterra 方程 若泛函 F [ϕ(x)] 为 ϕ(x) 的线性泛函，则称积分方程为线性
积分方程，否则为非线性积分方程。对一般的线性积分方程
A(x)ϕ(x) = λ
b(x)
a(x)
k(x, s )ϕ(s)ds + f(x)
若积分限 a(x), b(x) 为常数 a, b，则称为 Fredholm 方程。若积分限中有一个非常数，如 a(x) 或
者都为函数，则称为 Volterra 方程。后面，我们主要讨论这两种方程的解法。
第一类方程和第二类方程 第一类积分方程的未知函数仅出现在积分号内。第一类 Fredholm 积
分方程为
λ
b
a
k(x, s )ϕ(s)ds + f(x) = 0
第一类 Volterra 积分方程为
λ
x
a
k(x, s )ϕ(s)ds + f(x) = 0
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1.3 积分方程解的存在唯一性 第一章 积分方程
第二类积分方程的未知函数即在积分号内，也在积分号外。第二类 Fredholm 积分方程为
ϕ(x) = λ
b
a
k(x, s )ϕ(s)ds + f(x)
第二类 Volterra 积分方程为
ϕ(x) = λ
x
a
k(x, s )ϕ(s)ds + f(x)
方程的分类 积分方程按核的性质可以分为：核积分方程、弱奇性核积分方程和奇异积分方程。
1. 当 k(x, s) 是二元连续函数或者平方可积函数时，称 k(x, s) 为核，积分方程为核积分方程。
2. 当 k(x, s) =
k
0
(x,s)
(x−s)
α
(0 < α < 1) 时，k
0
(x, s) 为有界函数，则称积分方程为弱奇性核积分方
程。
3. 当 k(x, s ) =
a(x,t)
x−t
，其中：a(x, t) 关于 x, t 的偏导数存在。当 α = 1 时，
b
a
k(x, s )ϕ(s)ds =
b
a
a(x, s)
x − s
ϕ(x)ds
在通常意义下是发散的，但是如果对 ϕ(x) 加上一定的限制，使
lim
ε→0
x−ε
a
k(x, s )ϕ(s)ds +
b
x+ε
k(x, s )ϕ(s)ds
存在，即在 Cauchy 主值积分意义下存在，则称 k(x, s) 为 Cauchy 奇性核。当 α > 1 时，即使
在 Cauchy 主值积分意义下
b
a
k(x, s )ϕ(s)ds
也不存在，则称核为超奇性核，积分方程为超奇性积分方程。
如果 k(x, s) = k(s, x)，则称 k(x, s) 为对称积分核；如果 k(x, s) = k(l −s)，则称 k(x, s) 为
卷积核。如果积分方程中的 f(x) = 0，则称积分方程为齐次积分方程。
微分积分方程 如果在积分方程中加入微分项，或者在微分方程中加入积分项，则可以形成如下
形式的微分积分方程
y
(n)
(x) = C
n
+
x
0
F (x, y(x), y
′
(x), . . . , y
(n)
(x))dx
1.3 积分方程解的存在唯一性
1.3.1 Fridholm 定理
考虑如下 Fredholm 积分方程
ϕ(x) − λ
b
a
k(x, s )ϕ(s)ds = f(x) (1.3)
其中：f(x) ∈ L
2
(Ω)，k(x, y) ∈ L
2
(Ω)。
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第一章 积分方程 1.4 积分方程数值解法
定义 (伴随齐次方程) 我们称
ϕ(x) − λ
b
a
k(x, s )ϕ(s)ds = 0 (1.4)
为积分方程 (1.3) 的伴随齐次方程。任给 λ，它显然有平凡解 ϕ(x) ≈ 0，但当 λ 取某些值时，它
可能有不恒等于 0 的非平凡解。
定义 (特征值) 使伴随齐次方程 (1.4) 有非平凡解的 λ 值为方程的特征值，对应的非平凡解
称为方程 (1.4) 的特征函数。
定义 (共轭方程) 我们称
ϕ(x) = λ
b
a
k(s, x )ϕ(s)ds + f(x)
为积分方程 (1.3) 的共轭方程。k(s, x) 为核 k(x, s) 的共轭核，即把原来的 k(x, s) 中的自变量呼
唤，再取复共轭所得的核。
定理 (Fridholm 定理) Fridholm 定理即为 Fridholm 积分方程 (1.3) 的解存在唯一定理。对
方程 (1.3)
ϕ(x) − λ
b
a
k(x, s )ϕ(s)ds = f(x)
¬当且仅当其对应的伴随齐次方程仅有零解时，原方程对任意 f(x) ∈ L
2
(Ω) 在 L
2
内有唯一解。
若对应的伴随齐次方程有非零解时，则当且仅当 f(x) 与伴随齐次共轭方程
ϕ(x) − λ
b
a
k(s, x )ϕ(s)ds = 0
的一切解 ϕ(x) 正交时，原方程在 L
2
内有解 (不唯一)。
®原方程与伴随齐次共轭方程的解空间都是有限维的，而且维数相同。
¯在平面上任何有界区域内，原方程至多包含有限个特征值。
1.4 积分方程数值解法
积分方程的求解本质仍然是求 f (x)。在积分方程部分，我们将 f(x) 记为 ϕ(x)，且论域为
L
2
(I)，I = [a, b] ∈ R。我们仿照微分方程中的有限元法和谱方法来研究一下积分方程。
1.4.1 第二类 Fredholm 积分方程的数值方法
设 {φ
i
(x)}
n
i=1
是 L
2
(I) 中的完备函数系，可以是正交的，我们可以将待求函数 ϕ(x) 用 {φ
i
(x)}
展开，由于基组里 n → ∞，不妨设定为有限项 n
ϕ(x) ≈
n
i=1
c
i
φ
i
(x)
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1.4 积分方程数值解法 第一章 积分方程
这样，原问题求 φ(x) 就变为在给定基组 {φ
i
(x)}
n
i=1
之后，求系数 {c
i
}
n
i=1
。将展开后的 φ(x)
带回第二类 Fredholm 积分方程中
ϕ(x) = λ
b
a
k(x, s )ϕ(s)ds + f(x) (1.5)
有
n
i=1
c
i
φ
i
(x) ≈ λ
n
i=1
c
i
b
a
k(x, s )φ
i
(s)ds + f(x)
我们令
R(x) =
n
i=1
c
i
φ
i
(x) − λ
n
i=1
c
i
b
a
k(x, s )φ
i
(s)ds − f(x)
为残差。
配置法
如果我们要求 R(x) 在 [a, b] 的 n 个离散点 {x
i
}
n
i=1
处的函数值为 0，则可以得到 n 个方程
组，n 个参数 {c
i
}
n
i=1
可解。
n
i=1
c
i
φ
i
(x
k
) − λ
n
i=1
c
i
b
a
k(x
k
, s)φ
i
(s)ds = f(x
k
) k = 1, 2, . . . , n (1.6)
注：上面我们将 [a, b] 离散划分为 n 段，且有 n 个基函数 φ
i
。当然基函数的个数可以不取 n，为
了方便，也为了后面分段多项式的运用，我们令离散化段数和基函数个数相等，为 n。
将上述方程组 (1.6) 表示成矩阵的形式，有
φ
11
− λk
11
φ
21
− λk
21
. . . φ
n1
− λk
n1
φ
12
− λk
12
φ
21
− λk
22
. . . φ
n2
− λk
n2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
φ
1n
− λk
1n
φ
2n
− λk
2n
. . . φ
nn
− λk
nn
c
1
c
2
.
.
.
c
n
=
f
1
f
2
.
.
.
f
n
(1.7)
其中：φ
ik
= φ
i
(x
k
)，k
ik
=
b
a
k(x
k
, s)φ
i
(s)ds，f
k
= f(x
k
)，k = 1, 2, . . . , n
上面这种要求残差 R(x) 在离散点 {x
i
}
n
i=1
的取值为 0 的方法称为配置法，或者是配点法。
Galerkin 法
设 {φ
i
}
n
i=1
是 L
2
(I) 的带权 ρ(x) 的正交基 (例如前面介绍的 Chebyshev 多项式和 Jacobi 多
项式等)
b
a
ρ(x)φ
i
(x)φ
j
(x)dx = C
i
δ
ij
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第一章 积分方程 1.4 积分方程数值解法
Galerkin 方法要求残差 R(x) 与 ρ(x)φ
i
(x) 的内积为 0，注意是 ∀φ
i
(x) ∈ Φ，即
b
a
ρ(x)R(x)φ
i
(x)dx = 0 i = 1, 2, . . . , n
由此，仍可以得到 n 个线性方程组 (1.7)，但矩阵中的元素计算方法变为如下方式
φ
ik
=
b
a
ρ(x)φ
i
(x)φ
k
(x)dx
k
ik
=
b
a
b
a
k(x, s )φ
i
(s)ds
ρ(x)φ
k
(x)dx
f
k
=
b
a
f(x)ρ(x)φ
k
(x)dx
矩量法
矩量法要求残差 R(x) 关于原点的 k 阶矩为 0，即 ∀k ∈ [1, 2, . . . , n]，有
b
a
R(x)x
k
dx
由此，亦可以得到 n 个线性方程 (1.7)，这个方程组的矩阵中的元素计算方法变为如下方式
φ
ik
=
b
a
φ
i
(x)x
k
dx
k
ik
=
b
a
b
a
k(x, s )φ
i
(s)ds
x
k
dx
f
k
=
b
a
f(x)x
k
dx
数值求积公式法
对第二类 Fredholm 积分方程 (1.5)，设
b
a
f(x)dx ≈
n
j=1
A
j
f(x
j
) (1.8)
为数值积分公式。其中：x
j
∈ [a, b] 为区间离散点，A
j
为求积系数。不妨对积分方程 (1.5) 运用
数值积分公式，有
ϕ(x) ≈ λ
n
j=1
k(x, x
j
)ϕ(x
j
) + f(x)
这就像我们在前面弦振动里面分析的那样，某一点的坐标值 φ(x) 是所有点累加起来形成的，
当计算 x = x
i
点的函数值 φ(x
i
) 时，有
ϕ(x
i
) ≈ λ
n
j=1
k(x
i
, x
j
)ϕ(x
j
) + f(x
i
)
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1.4 积分方程数值解法 第一章 积分方程
在 [a, b] 内取 n 个离散点 {x
i
}(i = 1, 2, . . . , n)，会有 n 个方程，求之，即可得到 ϕ(x
i
)。不妨令
ϕ
i
= ϕ(x
i
), k(x
i
, x
j
) = k
ij
, f
i
= f(x
i
)，于是有
ϕ
i
≈ λ
n
j=1
k
ij
ϕ
j
+ f
i
i = 1, 2, . . . , n
上面共有 n 个参数 {ϕ
i
}，共有 n 个方程，所以可解。
上面遗留的问题是：对数值积分公式 (1.8)，如何确定公式中的 x
j
和 A
j
？总得来说，我们
该如何确定数值积分公式？
矩形法
x
k
= a + (k − 1)
(b − a)
n
k = 1, 2, . . . , n
A
k
=
b − a
n
梯形法
x
k
= a + (k − 1)
(b − a)
n
k = 1, 2, . . . , n
A
1
= A
n
1
2
b − a
n − 1
A
k
=
b − a
n − 1
k = 1, 2, . . . , n −1
Simpson 公式
x
2k+1
= a + 2k
(b − a)
2n
k = 0, 1, . . . , n
A
1
= A
2n+1
1
3
b − a
2n
A
2k
=
4
3
b − a
2n
k
= 1
,
2
�
. . . , n
A
2K+1
=
2
3
b − a
2n
k = 1, 2, . . . , n −1
数值求积公式结合谱方法
如果对积分方程同时使用数值积分公式和谱方法，则会有下面的一系列数值积分-多项式方
法。在对积分方程 (1.5) 中的积分项使用数值积分公式 (1.8) 之前 (或者之后)，将待求函数 ϕ(x)
用谱分析的正交多项式表示则可得到数值求积公式结合谱方法。
Gauss-Legendre 公式
求如下积分
1
−1
f(x)dx =
n
k=1
A
k
f(x
k
)
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第一章 积分方程 1.4 积分方程数值解法
高斯点 x
k
满足以下要求
P
n
(x
k
) = 0 k = 1�2, . . . , n
A
k
=
2(1 − x
2
k
)
[nP
n−1
(x
k
)]
2
k = 1�2, . . . , n
其中：P
n
(x) 是 n 阶 Legendre 多项式 (??)。
Gauss-Laguerre 公式
求如下积分
−∞
0
e
−
x
f(x)dx =
n
k=1
A
k
f(x
k
)
高斯点 x
k
满足以下要求
L
n
(x
k
) = 0 k = 1�2, . . . , n
A
k
=
(n!)
2
x
k
[L
′
n
(x
k
)]
2
k = 1�2, . . . , n
其中：L
n
(x) 是 n 阶 Laguerre 多项式 (??)。
Gauss-Hermitte 公式
求如下积分
∞
−∞
e
−x
2
f(x)dx =
n
k=1
A
k
f(x
k
)
高斯点 x
k
满足以下要求
H
n
(x
k
) = 0 k = 1�2, . . . , n
A
k
=
2
n+1
n!
√
π
[H
′
n
(x
k
)]
2
k = 1�2, . . . , n
其中：H
n
(x) 是 n 阶 Hermitte 多项式 (??)。
Gauss-Lobatto 公式
求如下积分
1
−1
f(x)dx =
2
n(n + 1)
[f(−1) + f(1)] +
n−1
k=2
A
k
f(x
k
) + R
n
(f)
高斯点 x
k
满足以下要求
P
′
n
(x
k
) = 0 k = 1�2, . . . , n
A
k
=
2
n(n + 1)[P
n
(x
k
)]
2
k = 1�2, . . . , n
其中：P
n
(x) 是 n 阶 Legendre 多项式。
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1.4 积分方程数值解法 第一章 积分方程
对于被积区间为 [a, b]，令方程 (1.5) 中的 s 为
s =
1
2
[(b − a)t + (b + a)]
可以将 s 在 [a, b] 上的积分映射到 t 在 [−1, 1] 上的积分，然后再用上面的积分公式对变量 t 进行
求解即可。
1.4.2 第二类 Volterra 积分方程的数值方法
考虑如下形式的第二类 volterra 积分方程
ϕ(x) =
x
a
k(x, s )ϕ(s)ds + f(x) a ⩽ s ⩽ x ⩽ b (1.9)
仍然假设 [a, x] 上的数值积分公式为
x
a
f(x)dx ≈
n
k=1
A
k
f(x
k
)
对第二类 volterra 积分方程 (1.9) 使用数值积分公式，有
ϕ(x) ≈
n
k=1
A
k
k(x, x
k
)ϕ(x
k
) + f(x) a ⩽ x
k
⩽ x ⩽ b
其中：n 为区间 [a, x] 的离散点数。对每一个点 x
i
，其函数值 ϕ(x
i
) 都是其 [a, x
i
] 的累加。
我们可以选用不同的数值积分公式，得到不同的结果。进一步，如果对积分方程中的待求函
数
ϕ
(
x
)
用谱方法中的正交多项式替代，则可得到数值积分结合谱方法。
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