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第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较 1
1.1 背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 FB 收益率序列基本分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 FB 收益率的描述统计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2 FB 收益率的基本分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 FB 收益率的 GARCH 族模型建模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 IGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.4 GARCHM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.5 EGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.6 GJRGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.7 TGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.8 AGARCH and avGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.9 nGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.10 apARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 模型估计与模型信息 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 GARCH 族模型结果分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 程序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 收益率模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.2 风险度量：条件风险价值 CVaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 组合投资 E-CVaR 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.4 组合投资的数值模拟 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1
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第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较
1.1 背景
整本书都少有介绍时间序列模型，这是一个非常大的遗憾，因此，我们利用这章来简单的介
绍一些时间序列模型
¬
。在这一部分中，我们比较了 ARMA 和 GARCH 族模型在股票收益率上
的建模效果。文中所有模型均为 p = 1 和 q = 1 的状态，所有模型均在正态分布下进行。利用
FB 收益率作为样本收益率进行分析，采用模型信息、残差检验以及模型拟合指标等方法评价各
模型，并得到相应的结论。
对股票收益率的建模一直以来都是统计与金融经济研究的重点。如果我们能够很好的描述收
益率预估收益率，这将对我们今后的投资产生巨大的帮助，例如：我们可以在收益率模型的基础
上建立组合投资模型，收益率的方差就是投资中的风险所在 (这里，我们直接对收益率进行建模，
因此说收益率即为误差项)。但不幸的是：收益率具有随机性、波动聚集性、杠杆效应和厚尾特征
等特性，这使得我们很难建立好的模型来拟合收益率。经过前人们的不断努力，人们对收益率的
认知越来越丰富，可以说每一个收益率都是一个独特的个体，每个个体有其自身的特性，而众多
的收益率在一起，则表现出一些共性 (随机性、杠杆效应、厚尾特征等等)，因此，对收益率的建
模会多种多样。既然对某个收益率而言，我们有如此多的模型可以选择，那么问题来了：就单一
收益率而言，哪个模型更为合适？哪个模型适合大多数收益率？接下来的内容主要解决这第一个
问题。我们选取某一收益率 (FB 收益率) 进行分析，首先介绍 ARMA 和 GARCH 族模型，然后
将模型应用到 FB 上，最后进行模型的评价。值得一提的是：我们此次是在单一的 FB 时间序列
上进行分析，后期，我们会扩展到一些多元时间序列模型。
1.2 FB 收益率序列基本分析
1.2.1 FB 收益率的描述统计
在进行收益率描述与建模之前，我们有必要设置一下符号。从 yahoo 财经上获取 2014/05/22
至 2015/12/01 的 FB 闭市股票数据，设 P
t
为 t 时刻的股票值，时长为 T ，设收益率为 x
t
x
t
= ln
P
t
P
t−1
¬
此部分主要是为了介绍各种 GARCH 模型
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1.2 FB 收益率序列基本分析 第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较
将收益率序列记为 {x
t
}
T
t=1
，因为文中建立的是时间序列模型，所以，我们设定单一的 x
t
为随机
变量，而 {x
t
} 为随机过程，具体的 {x
t
} 的值为随机过程的一次样本实现。
我们先来描述一下 {x
t
} 的统计特征，值得一提的是：本应该先对其进行平稳性分析，只有
当 {x
t
} 为平稳过程时，统计分析与建模才有意义。这里，我们将平稳性等检验放在后面进行。从
2014/05/22 开始，由于进行了差分运算，所以 {x
t
} 从 2014/05/23 开始，对其进行基本统计分
析，发现
{
x
t
}
最小收益率为
-0.062716
，最大收益率为
0.050465
，平均收益率为
0.001483
，绘制
{x
t
} 的序列图如图 (1.1) 所示
图 1.1: FB 收益率序列图
发现收益率序列围绕 0 上下波动，并且具有一定的波动聚集性，表现为大的波动后面紧接大
的波动。绘制 {x
t
} 的序列直方图并进行非参数密度估计如图 (1.2) 所示。
图 1.2: 收益率序列直方图及核密度估计
发现收益率序列具有一定的对称性，并且结合图 (1.2) 和图 (1.3)，我们可看到收益率序列相
对正态分布而言具有厚尾的特点，并且在 K-S 检验下，收益率非正态。
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第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较 1.2 FB 收益率序列基本分析
图 1.3: 收益率序列 QQ 图
1.2.2 FB 收益率的基本分析
平稳性检验
序列具有平稳性是我们建立模型的前提 (ARMA/GARCH 均是在平稳序列上建立的模型)，
在平稳的条件下，我们才可以利用时间遍历性对序列进行分析，为此，我们先对 {x
t
} (为便于书
写，下面将 {x
t
} 写为 x
t
) 进行平稳性检验。平稳性检验有许多方法，例如：非参数的游程检验
法，ADF 单位根检验法，PP(Phillips-Perron) 检验法 (R-uroot-pp.test) 等。我们利用 ADF 单
位根检验来检验 x
t
的平稳性，ADF 有三种检验类型：无常数无趋势
1
、有常数无趋势
2
、有常
数有趋势
3
。具体内容可参见一般时间序列教材 (如：《应用时间序列分析》王黎明 P232)。三种
ADF 检验的结果如表 (1.1) 所示。
表 1.1: 收益率序列的三种 ADF 检验
Test regression none
1
p-value: < 2.2e-16 Value of test-statistic is: -14.745
Test regression drift
2
p-value: < 2.2e-16 Value of test-statistic is: -14.872
Test regression trend
3
p-value: < 2.2e-16 Value of test-statistic is: -14.851
经过 ADF 检验后，发现其 P 值 < 0.05，在 0.05 的显著水平下拒绝原假设，原假设为有一
个单位根 (非平稳)，可以说明 x
t
为平稳时间序列。
相关性检验
相关性检验是重要的。如果序列不具有相关性，或者说序列为纯随机序列，那么我们也就没
有建模的必要，接下来进行的相关性检验是线性相关性检验。利用 Ljung-Box 和 Box-Pierce 进
行相关性检验，原假设假设序列为纯随机序列，检验后发现在 0.05 的显著水平下拒绝原假设，序
列 x
t
具有一定相关性。绘制收益率序列的自相关和偏自相关图，如图 (1.4) 所示。
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1.2 FB 收益率序列基本分析 第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较
图 1.4: 收益率自相关偏自相关图
ARCH 检验
下面，我们将进行收益率序列的 ARCH 效应检验。ARCH 效应的检验方法有许多，例如：
LM(拉格朗日乘数检验)、McLead-Li-Test 等，ARCH 说明收益率具有波动聚集的特点，我们先
来绘制 x
2
t
的序列图及其自相关偏自相关图，如图 (1.5) 所示。可以发现，相对于 x
t
而言，其平
方序列 x
2
t
具有更强的相关性，并且波动聚集明显。
图 1.5: 收益率序列平方的自相关偏自相关图
我们对 x
t
序列进行 ARCH 效应检验，先进行 LMtest 检验，检验原假设为 x
t
无 ARCH 效
应，检验的滞后期为 4、8 和 12(这是时间序列可能存在的周期)，得到的检验结果如表 (1.2) 所
示。
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第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较 1.3 FB 收益率的 GARCH 族模型建模
表 1.2: 收益率序列的 ARCH 效应检验
ARCH LM-test, Null hypothesis: no ARCH eects
Chi-squared = 16.44 df = 4 p-value = 0.00248
Chi-squared = 18.21 df = 8 p-value = 0.01971
Chi-squared = 22.444 df = 12 p-value = 0.03283
利用 McLead-Li-Test 进行检验，检验原假设为 x
t
无 ARCH 效应，得到的检验结果如图
(
1.6)
所示。二者的结果说明收益率序列
x
t
具有
ARCH
效应。
图 1.6: 少收益率序列的 McLead-Li ARCH 效应检验结果图
1.3 FB 收益率的 GARCH 族模型建模
在收益率序列平稳的基础上对其进行建模，建立的模型主要是 ARMA 和 GARCH 族，为简
单，将所有模型统一建立为 (p, q) = (1, 1)，模型扰动项 ε
t
服从条件正态分布，为
η
t
∼ N(0, 1), ε
t
|Φ
t
∼ N(0, σ
2
t
)
当然，扰动项可以服从其它分布，例如：t 分布，学生 t 以及广义误差分布 GED 等。分布不同，
估计的极大似然不同，模型结果也就不同，因此，我们可以比较不同分布下的模型优良，但此问
题并非我们所要讨论的。由于有不同的分布，我们在下面的模型介绍中，将其统一记为
η
t
∼ f, ε
t
|Φ
t
∼ f(σ
2
t
)
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1.3 FB 收益率的 GARCH 族模型建模 第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较
1.3.1 ARMA
Box and Jenkins 于 1970 年撰写的《Time Series Analysis:Forecasting and Control》是时间
序列发展的里程碑。ARMA 的一般模型如下：
x
t
= c +
p
i=1
ϕ
i
x
t−i
+ ε
t
−
q
j=1
φ
j
ε
t−j
ε
t
∼ W N(0, σ
2
)
我们在文中对 x
t
建立了 ARMA(1,1) 模型，ARMA(1,1) 为
x
t
= c + ϕ
1
x
t−1
+ ε
t
− φ
1
ε
t−1
ε
t
∼ W N(0, σ
2
)
E(X
s
, ε
t
) = 0, ∀s < t
1.3.2 GARCH
收益率序列存在厚尾现象、波动聚集现象以及变方差 (异方差) 现象，Engle 于 1982 年首先
构建了 ARCH 模型用于刻画英国通货膨胀率中存在的异方差，他假设模型的残差 ε
t
的平方 ε
2
t
服从 AR(p) 过程，并且提出了检验序列是否具有 ARCH 效应的 LM 检验 (Lagrange 乘数法)，
具体内容可参见一般时间序列教材 (如：《应用时间序列分析》王黎明 P199)。Bollerslev 于 1986
年将 ARCH 推广到一般的 GARCH，GARCH 与 ARMA 有类似的结构。
GARCH 模型的条件方差 σ
2
t
取决于残差 ε
(t−i)
的大小而与符号无关，但研究表明，收益率
序列存在一定的杠杆效应，坏消息导致的价格波动要比好消息强烈。为了保证 σ
2
t
非负，要求模
型系数为非负。GARCH 一般比较小，很难判断方差波动源的持续性。GARCH 的一般模型如下：
x
t
= L(x) + ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w +
q
i=1
α
i
ε
2
t−i
+
p
j=1
β
j
σ
2
t−j
η
t
∼ f, ε
t
|Φ
t
∼ f(σ
2
t
)
其中，L(x) 表示对序列 x
t
的任意模型，由于我们这里考虑的是单一时间序列建模，因此，也要
求 L(x) 不受其他因素影响。
我们在文中对 x
t
建立了 GARCH(1,1) 模型，GARCH(1,1) 为
x
t
= c + ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w + α
1
ε
2
t−1
+ β
1
σ
2
t−1
η
t
∼ f, ε
t
|Φ
t
∼ f(σ
2
t
)
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第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较 1.3 FB 收益率的 GARCH 族模型建模
1.3.3 IGARCH
Bollerslev 于 1986 年给出 ε
t
满足 garch(p, q) 的充要条件：
ε
t
∼ garch(p, q) ⇔
q
i=1
α
i
+
p
j=1
β
j
< 1
IGARCH 是单位根 GARCH，其在普通 GARCH 模型后面引入了约束，要求
q
i=1
α
i
+
p
j=1
β
j
= 1
这表明收益率具有强的持续的波动，这种情况下，条件方差函数具有单位根和单整性，任何对条
件方差 σ
2
t
的影响都将持续下去。Bollerslev 和 Engle 在 1986 年直接使用了 IGARCH，但这种
约束会使得真实的动态相依性变得有些强加的味道。IGARCH 的一般模型如下
x
t
= L(x) + ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w +
q
i=1
α
i
ε
2
t−i
+
p
j=1
β
j
σ
2
t−j
q
i=1
α
i
+
p
j=1
β
j
= 1
我们在论文中对 x
t
建立了 IGARCH(1,1) 模型，IGARCH(1,1) 为
x
t
= c + ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w + α
1
ε
2
t−1
+ β
1
σ
2
t−1
α
1
+ β
1
= 1
1.3.4 GARCHM
收益和波动率关系的非对称性归因于波动率的反馈效应，Engle、Lilien 和 Robin 于 1987 年
提出 GARCHM 模型来刻画这种非对称性，在模型中，条件均值显性的依赖于条件方差 σ
2
t
，表
明当风险越大时，期望得到的收益也就越大。GARCHM 的一般模型如下
x
t
= L(x) + ε
t
+ γσ
2
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w +
q
i=1
α
i
ε
2
t−i
+
p
j=1
β
j
σ
2
t−j
η
t
∼ f, ε
t
|Φ
t
∼ f(σ
2
t
)
其中，γ 称为风险溢价参数，γ 为正时，表明高风险带来高收益。也有文献将风险标记为 log (σ
2
t
)。
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1.3 FB 收益率的 GARCH 族模型建模 第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较
我们在论文中对 x
t
建立了 GARCHM(1,1) 模型，GARCHM(1,1) 为
x
t
= c + ε
t
+ γσ
2
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w + α
1
ε
2
t−1
+ β
1
σ
2
t−1
α
1
+ β
1
= 1
η
t
∼ f, ε
t
|Φ
t
∼ f(σ
2
t
)
1.3.5 EGARCH
前面，我们提到过 GARCH 模型可以刻画收益率的异方差性，但其不能很好的表达收益率的
杠杆效应，GARCH 模型的干扰因素 η
t
对条件方差的影响是对称的，不适合描述干扰对收益率的
非对称影响，为了反应波动的非对称性，Nelson 于 1991 年提出了指数 GARCH 模型 (EGARCH)，
在模型中考虑了加权信息。
g(η
t
) = θη
t
+ γ[|η
t
| − E(|η
t
|)]
其中：θ 和 γ 是实常数，η
t
是均值为 0 的独立同分布序列 (过程)，一般为正态白噪声，如果是
正态白噪声，那么有 E (|η
t
|) =
√
2⁄π，并且：
E [g (η
t
)] = 0
g(η
t
) 的非对称性表现为
g (η
t
) =
(θ + γ) η
t
− γE (|η
t
|) , η
t
≥ 0
(θ − γ) η
t
− γE (|η
t
|) , η
t
≤ 0
一般的 EGARCH 模型如下：
x
t
= L(x) + ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
log σ
2
t
= w +
q
i=1
α
i
g(η
t−i
) +
p
j=1
β
j
log σ
2
t−j
g(η
t
) = θη
t
+ γ[|η
t
| − E(|η
t
|)]
我们在论文中对 x
t
建立了 EGARCH (1,1) 模型，EGARCH (1,1) 为
x
t
= c + ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
log σ
2
t
= w + α
1
θ
ε
t−1
σ
t−1
+ γ
ε
t−1
σ
t−1
− E
ε
t−1
σ
t−1
+ β
1
log σ
2
t−1
E
ε
t−1
σ
t−1
=
2/π, if η
t
∼ N(0, 1)
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第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较 1.3 FB 收益率的 GARCH 族模型建模
1.3.6 GJRGARCH
另一个经常用来处理杠杆效应的模型是门限 GARCH 模型，这里，我们先来介绍 GJR-
GARCH 模型，然后介绍 TGARCH 模型，二者本质上是一样的。Glosten、Jagannathan 和 Runkle
于 1993 年构建了 GJRGARCH，他们在模型中引入了特征变量：
I
t−i
= 1(ε
t−i
< 0)
当 ε
(t−i)
< 0 时，I
(t−i)
= 1，否则为 0。GJRGARCH 的一般模型如下：
x
t
= L(x) + ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w +
q
i=1
(α
i
+ γ
i
I
t−i
) ε
2
t−i
+
p
j=1
β
j
σ
2
t−j
I
t−i
= 1(ε
t−i
< 0)
其中：α
i
，β
i
和 γ
i
为非负参数，可以看到，正的 ε
(t−i)
对 σ
t
的贡献为 α
i
ε
2
(t−i)
，而负的 ε
(t−i)
对
σ
t
的贡献为 (α
i
+ γ
i
) ε
2
(t−i)
。
我们在文中对 x
t
建立了 GJRGARCH (1,1) 模型，GJRGARCH (1,1) 为：
x
t
= c + ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w + (α
1
+ γ
1
I
t−1
) ε
2
t−1
+ β
1
σ
2
t−1
I
t−i
= 1(ε
t−i
< 0)
1.3.7 TGARCH
Zakian
于
1994
年提出门限
GARCH
模型，和
GJRGARCH
模型具有异曲同工之妙，不过，
相对于 GJRGARCH 而言 TGARCH 有更少的参数。一般的 TGARCH 模型如下：
x
t
= L(x) + ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w +
q
i=1
α
i
ε
2
t−i
+ γI
t−i
ε
2
t
−
i
+
p
j=1
β
j
σ
2
t−j
I
t−i
= 1(ε
t−i
< 0)
我们在文中对 x
t
建立了 TGARCH (1,1) 模型，TGARCH (1,1) 为：
x
t
= c + ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w + α
1
ε
2
t−1
+ γI
t−1
ε
2
t−1
+ β
1
σ
2
t
−
1
I
t−i
= 1(ε
t−i
< 0)
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1.3 FB 收益率的 GARCH 族模型建模 第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较
1.3.8 AGARCH and avGARCH
另一个用来刻画杠杆效应的有效模型是 AGARCH(an asymeetric GARCH)，AGARCH 模
型中引入了控制参数 b，具体的 AGARCH 模型如下：
x
t
= L(x) + ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w +
q
i=1
α
i
|ε
t−i
+ b|
2
+
p
j=1
β
j
σ
2
t−j
η
t
∼ f, ε
t
|Φ
t
∼ f(σ
2
t
)
可以看到，当控制参数 b < 0 时，负的 ε
(t−i)
对条件方差的贡献增大，正的 ε
(t−i)
对条件方差的
贡献减小。
一个扩展后的模型是 avGARCH(absolute value GARCH)，一般的 avGARCH 模型如下：
x
t
= L(x) + ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w +
q
i=1
α
i
(|ε
t−i
+ b| −c (ε
t−i
+ b))
2
+
p
j=1
β
j
σ
2
t−j
η
t
∼ f, ε
t
|Φ
t
∼ f(σ
2
t
)
1.3.9 nGARCH
Duan 于 1995 年构建了 NGARCH 模型，用于刻画收益率的杠杆效应，同时反应了波动率
的非线性性。一般的 NGARCH 模型如下：
x
t
= L(x) + λσ
t
−
1
/
2
σ
2
t
+ ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w +
q
i=1
α
i
(ε
t−i
− λσ
t−j
)
2
+
p
j=1
β
j
σ
2
t−j
η
t
∼ f, ε
t
|Φ
t
∼ f(σ
2
t
)
其中：参数 λ 用于刻画杠杆效应，如果其估计值非负，则说明具有杠杆效应。模型中的其他系数
保持非负特点。
我们在文中对 x
t
建立了 NGARCH (1,1) 模型，NGARCH (1,1) 为：
x
t
= c + λσ
t
−
1
/
2
σ
2
t
+ ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w + α
1
(ε
t−1
− λσ
t−1
)
2
+ β
1
σ
2
t−1
η
t
∼ f, ε
t
|Φ
t
∼ f(σ
2
t
)
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第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较 1.4 模型估计与模型信息
1.3.10 apARCH
Ding Z, G ranger C W J 和 Engle R F 于 1993 年提出非对称幂 GARCH(apARCH)，apARCH
仍然是用来刻画收益率的杠杆效应，并且，许多其他的模型可以从 apARCH 模型中演化形成，一
般的 apARCH 模型如下：
x
t
= L(x) + ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w +
q
i=1
α
i
(|ε
t−i
| − γ
i
ε
t−i
)
δ
+
p
j=1
β
j
σ
δ
t−j
η
t
∼ f, ε
t
|Φ
t
∼ f(σ
2
t
)
其中：γ
i
用于刻画杠杆效应，当其为正时，表明具有杠杆效应。δ 为幂参数，当 δ = 1 时，模型
变为 TGARCH。
我们在文中对 x
t
建立了 apARCH (1,1) 模型，apARCH (1,1) 为：
x
t
= c + ε
t
ε
t
= σ
t
η
t
σ
2
t
= w + α
1
(|ε
t−1
| − γ
1
ε
t−1
)
δ
+ β
1
σ
δ
t−1
η
t
∼ f, ε
t
|Φ
t
∼ f(σ
2
t
)
1.4 模型估计与模型信息
在展示模型估计结果之前，要说明的是我们使用的是 ruGARCH 和 bayesGARCH 等 R 包，
包中的模型和上面给出的标准模型可能会有一定的差异，具体的模型可以参考 ruGARCH 包的
说明文档。一个普遍存在的差异是，ruGARCH 包中的 GARCH 族模型的异方差模型为：
σ
2
t
=
w +
m
j=1
ζ
j
ν
jt
+
q
i=1
α
i
f
1
(ε
t−i
) +
p
j=1
β
j
f
2
(σ
t−j
)
其常数项已经不再是常数项，在估计结果中，将 ζ
j
记为 omega。
接下来我们直接给出模型的估计结果及模型的信息，不写出详细模型，最后给出各个模型的
比较。
1、ARMA 模型参数估计结果如表 (1.3) 所示
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1.4 模型估计与模型信息 第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较
表 1.3: ARMA 模型参数估计结果
Coecient(s) Estimate Std.Error t value Pr(>|t|)
ar1 -0.6374947 0.1377807 -4.627 3.71e-06***
ma1 0.7517159 0.1162311 6.467 9.97e-11***
mu 0.0014866 0.0008898 1.671 0.0948.
note: Signif. codes: 0 ‘***’0.001 ‘**’0.01 ‘*’0.05 ‘.’0.1 ‘’1;
log likelihood: 1038.66 Distribution is:norm AIC Criterion: -2069.31
2
、
GARCH
模型参数估计结果如表
(1.4)
所示
表 1.4: GARCH 模型参数估计结果
Coecient(s) Estimate Std.Error t value Pr(>|t|)
omega 0.0002188 0.0001091 2.005 0.0450*
alpha1 0.1265543 0.0633417 1.998 0.0457*
beta1 0.0703620 0.4113794 0.171 0.8642
Log Likelihood:1037.195; normalized: 2.694013 Conditional Distribution is:norm.
AIC:-5.372442; BIC:-5.341637; SIC:-5.372562; HQIC: -5.360225
3、bayesGARCH 轨迹如图 (1.7) 所示
图 1.7: bayesgarch 轨迹图
设置参数向量 α = (α
0
, α
1
) 的先验分布中的初值为 0，Σ
α
= diag(1000, 1000)，这里方差取
1000 是利用了扩散先验的思想，参数 β 的先验分布中的初值为 0，Σ
β
= 1000。为了确保收敛，
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第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较 1.4 模型估计与模型信息
我们模拟两条马氏链，每条迭代 1000 次，上图左边为迭代路径图，右边为后验分布的核密度估
计。bayesGARCH 模型参数估计结果如表 (1.5) 所示
表 1.5: bayesGARCH 模型参数估计结果
Coecient(s) Mean SD Naive SE Time-series SE
alpha0 0.009656 0.007253 0.0003244 0.002069
alpha1 9.363032 8.590657 0.3841858 2.216542
beta 0.225654 0.166916 0.0074647 0.032367
nu 2.034682 0.034131 0.0015264 0.014910
模型残差分析
在构建模型之前，我们对残差有一定的假设，我们假设残差为正态白噪声过程，因此，在建
立模型之后，要对残差进行分析，进行正态性检验、平稳性检验、相关性 (独立性) 检验和 ARCH
效应检验。利用 Shapiro-Wilk.test 进行正态性检验 (不过不满足样本要求 [50-80]，后期修改)，利
用 Box-Ljung.test 进行独立性检验，利用 LM.test 进行 ARCH 效应检验。
Shapiro-Wilk.test Shapiro-Wilk.test 的详细内容可以参考：数理统计 P289 或者梁小筠《正
态性检验》P58。检验统计量为：
T = W =
[
n
2
]
i=1
a
i
(W )[x
(n+1−i)
− x
(i)
]
2
n
i=1
[x
(i)
− ¯x]
2
其中：α
i
参考相关文献 (梁小筠《正态性检验》P58)。
Box-Ljung.test 独立性检验可以看作滞后期小于 m 期的序列值之间相互独立。原假设 H0:
ρ
1
= ρ
2
= ··· = ρ
m
= 0
其中：ρ
1
为滞后 1 期的自相关系数。备择假设 H1:
∃i ∈ [1 : q], ρ
i
= 0
一般情况下，我们只能得到样本的自相关函数值 ˆρ
i
(即 ρ
i
的估计值)，并且估计值一般不为 0。对
ˆρ
i
有 Bartlett 公式：如果 ˆρ
i
在 r > M 时趋于 0，则在 n 足够大的情况下，其方差为：
D (ˆρ
i
) ≈
1
n
M
m=−M
ˆρ
2
m
并且，r > M 时，ˆρ
i
近似服从正态分布：
ˆρ
i
˙∼N
0,
1
n
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1.4 模型估计与模型信息 第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较
于是，有检验统计量 Box-Pierce 和 Box- Ljung：
T
BP
= n
m
i=1
ˆρ
2
i
∼ χ (m)
T
BL
= n (n + 2)
m
i=1
ˆρ
2
i
n − k
∼ χ (m)
LM.test 检验误差项 ε
t
是否服从 ARCH(q) 过程，也就是检验方程 σ
2
t
= w + Σ
q
i=1
α
i
ε
2
t−i
中，
所有回归系数 α
i
是否同时为 0。原假设 H0：
α
1
= α
2
= ··· = α
m
= 0
备择假设 H1：
∃i ∈ [1 : q], α
i
= 0
构建 LM 检验统计量为：
T = n
∂L (θ)
∂θ
′
I
−1
δ
∂L (θ)
∂θ
其中：θ = [α
1
, α
2
, …, α
q
]�L(θ) 为对数似然函数，I
−1
δ
为在似然函数最大时计算的信息阵倒数。计
算公式如下：
∂L (θ)
∂δ
=
1
2
n
t=1
ε
2
t
σ
2
t
− 1
∂ log σ
2
t
∂δ
−
n
t=1
1
2σ
2
t
∂ε
2
t
∂δ
I
δ
= −
1
n
E
∂
2
L (θ)
∂δ∂δ
′
x
t
∂
2
L (θ)
∂δ∂δ
′
= −
1
2
n
t=1
ε
2
t
σ
2
t
∂ log σ
2
t
∂δ
∂ log σ
2
t
∂δ
′
信息矩阵的一致估计为：
ˆ
I
δ
=
1
2n
n
t=1
z
t
(θ) z
t
(θ)
′
(σ
2
t
)
2
模型评价 6 个指标
前面，我们对单一的 FB 收益率序列建立了诸多的模型，那么，接下来的问题很自然就是如
何来评价这些模型，这是一个很重要的问题，这将指导我们对 FB 序列建立最适合的模型，从而
进行最好的估计与预测。在线性回归中，我们利用 R
2
来评价模型，虽然我们也可以用其来评价
模型，但此并非常用准则。下面，我们来构建模型的评价指标：
1、AIC 信息准则：AIC(Akaika information criterion) 信息准则由日本统计学家 Akaika 于
1973
年提出，该准则不仅考虑了模型对数据的拟合程度，还考虑了模型参数的个数。
AIC
的一
般形式为：AIC = - 2ln(模型最大似然度) + 2(模型独立参数个数)
AIC = n
log
RSS
n
+ 1 +
log
(2
π
)
+ 2(
p
+ 1)
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第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较 1.4 模型估计与模型信息
其中:RSS 是拟合残差平方和，p 是选入模型的参数 (p = p + q = 1 + 1)，n 为样本量。
2、BIC 信息准则：由于 AIC 方法不能给出相容估计 (当样本量 n 趋近于无穷时，采用 AIC
方法定出的模型阶数不能依概率收敛到真值，通常比真值要高)，为此，Akaike 和 E.J.Haman 于
1979 年又提出了 BIC 准则，BIC 的一般形式为：BIC = - 2ln(模型最大似然度) + 2(模型独立参
数个数)
BIC = n
log
RSS
n
+ 1 + log(2π)
+ (p + 1) log(n)
3、模型残差结果: 汇总各模型残差的随机性检验 (LBtest)、ARCH 检验 (LMtest) 和正态性
检验。
4、6 个误差指标：在 2002 年，Buhlmann 和 McNeil 定义了以下 6 个误差指标来评价模型:
平均平方误差 (MSE1、MSE2)、平均绝对误差 (MAE1、MAE2)、高斯准极大似然损失函数误差
(QLIKE) 及对数损失函数误差 (R
2
LN)。
MSE1 =
1
n
n
t=1
(ˆσ
t
− σ
t
)
2
MSE2 =
1
n
n
t=1
ˆσ
2
t
− σ
2
t
2
MAE1 =
1
n
n
t=1
|ˆσ
t
− σ
t
|
MAE2 =
1
n
n
t=1
ˆσ
2
t
− σ
2
t
QLIKE =
1
n
n
t=1
ln ˆσ
2
t
+ σ
2
t
ˆσ
2
t
R
2
LN =
1
n
n
t=1
ln σ
2
t
ˆσ
2
t
2
其中，n 为样本大小，σ
t
为误差项 ε
t
的标准差，ˆσ
t
为其估计值，σ
2
t
为条件方差 (即误差项 ε
t
的
条件异方差)。MSE1、MSE 2、MAE1、MAE2 越小表示预测精度越高，QLIKE 和 R
2
LN 越大
表示预测精度越高。
值得一提的是，在 ruGARCH 包中，编者将 AIC 等信息编写为如下形式：
AIC =
−2LLH
N
+
2m
N
BIC =
−2LLH
N
+
mlog
e
(N)
N
HQIC =
−2LLH
N
+
2mlog
e
(log
e
(N))
N
SIC =
−2LLH
N
+ log
e
N + 2m
N
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1.4 模型估计与模型信息 第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较
1.4.1 GARCH 族模型结果分析
根据前面的 bayesGARCH 模型的结果可以看到，bayesGARCH 模型的估计结果并不令人满
意。Gelman 和 Rubin 于 1992 年提出的方差比法：如果
ˆ
R > 1，说明链收敛不好；如果
ˆ
R = 1，
说明链达到静止状态。而上面 bayesGARCH 模型的方差大于 1，说明模型不理想。改进的方向
有：1、调整初始值 2、增加迭代次数等。总之，bayesGARCH 建模失败了，这个模型我们以后
再讨论。下面，我们分析一下其他的模型：
1. 就 AIC 和 BIC 信息而言，AIC 等准则越小越好 (但这仅就同模型而言，不同模型之间还未
考虑)，而 girGARCH 模型的 AIC 是最小的，IGARCH 模型仅次之，并且两个模型之间有
一定的联系；就 BIC 而言 apARCH 模型是最优的，gjrGARCH 模型仅次之。
2. 就残差正态性检验而言，由于我们在上述建模过程中，均假设残差服从正态分布，因此，有
必要进行正态性检验，在 SWtest 下，所有模型均在 0.05 的显著水平下拒绝正态原假设。
不过这里使用的检验方法有一些问题，有待后续研究 (可以用不同的正态性检验方法进行比
较)。
3. 就残差的独立性而言，仅有 ARMA 模型没有拒绝原假设 (原假设为独立随机)，其他模型
均在 0.05 的显著水平下拒绝原假设。
4. 残差的 ARCH 效应检验，仅有 ARMA 和 GARCHM 模型没有拒绝原假设 (原假设为无
GARCH 效应)，其他模型均在 0.05 的显著水平下拒绝原假设。
5. 就 6 个拟合指标而言，ARMA 模型在 MSE1、MSE2、MAE2 和 QLIKE 指标下均优于其
他模型，而 apARCH 模型则占据了 MAE1 和 R2LE 指标的榜首。
综上而言，ARMA 模型较为适合 FB 收益率，其次是 apARCH 和 gjrGARCH(IGARCH)。
一种更为有利的比较方法是在每个指标下，将模型排名，然后汇总最终的排名结果 (如取均值等
方法)。
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1.4 模型估计与模型信息 第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较
1.4.2 程序
由于各个模型的建模基本相似，这里我们仅给出部分模型的程序。以 IGARCH 模型为例，
IGARCH 模型的建模程序如下
1 ############# rugarch package 介 绍##
2 #http : // unstarched . net/ r / rugarch/ 原 始 路 径
3 #http : // her bert12 . blog . 1 6 3 . com/ blog / s t a t i c /304782320120184118846/
4 #http : //www. b i o s t a t i s t i c . net /thread −78659−1−1.html 翻 译
5 . libPath s ( ”D: /Program Fi l e s /R/R− 3.1.3 / lib r a r y ” )
6 i n s t a l l . packages ( ” rugarch ” , l i b = ”D: /Program F i l e s /R/R− 3.1.3/ li b r a r y ” )
7 l i b r a r y ( p a r a l l e l )
8 #i n s t a l l . packages (”truncnorm ” , l i b = ”D: /Program F i l e s /R/R− 3.1.3 / li b r a r y ”)
9 i n s t a l l . packages ( ” misc3d” , l i b = ”D: /Program F i l e s /R/R− 3.1.3/ li b r a r y ” )
10 i n s t a l l . packages ( ” r g l ” , l i b = ”D: /Program F i l e s /R/R− 3.1.3/ l i b r a r y ” )
11 l i b r a r y ( rugarch )
12 #该 模 型 由 三 个 部 分 构 成 ， 均 值 方 程 对 应 式 （ 1 ） ， 分 布 假 设 对 应 （ 2 ） ， 方 差 方 程 对 应 式 （ 3 ） ，
13 # 对 三 个 部 分 进 行 适 当 的 变 形 后 可 以 形 成
14 # egarch 模 型 ， egarch−ged 模 型 ， egarch−t 模 型， Igar ch 模 型 ， garch−m模 型 和 Qgarch 模 型 等
15 # 因 此 ， 设 定 模 型 形 式 就 是 分 别 设 定 均 值 方 程 、 方 差 方 程 和 分 布 。
16 # spec=ugarchspec ( variance . model = l i s t ( model = ”sGARCH” , garchOrder = c (1 , 1) ,
17 # submodel = NULL,
18 # ext e rna l . re g r e s s o r s = NULL,
19 # vari an ce . ta r g etin g = FALSE) ,
20 # mean . model = l i s t ( armaOrder = c (1 , 1) ,
21 # inc lud e .mean = TRUE,
22 # archm = FALSE,
23 # archpow = 1 ,
24 # arfima = FALSE,
25 # exte rnal . r e g r e s s o r s = NULL,
26 # archex = FALSE) ,
27 # d i s t r i b u t i o n . model = ”norm” ）
28 # ug a r c hfit ( spec ,
29 # data ,
30 # out . sample = 0 ,
31 # s o lver = ” soln p ” ,
32 # s o lver . c ontr o l = l i s t () ,
33 # f i t . c o ntr o l = l i s t ( s t atio n a r i t y = 1 , f i x e d . se = 0 , s c a l e = 0 , rec . i n i t = ’ a l l
’ ) ,
34 # numderiv . c ont r ol = l i s t ( grad . eps=1e−4, grad . d=0.0001 ,
35 # grad . zero . tol = s qrt ( . Machine$ double . eps /7e−7) ,
36 # h es s . eps = 1e−4,
37 # h es s . d = 0 . 1 ,
38 # h es s . zero . to l = s q rt ( . Machine$double . eps /7e−7) ,
39 # r =4, v=2) )
40 # 通 过 p lot ( myfit ) 可 以 对 模 型 结 果 进 行 图 形 诊 断 ：
41 # pl ot ( myfit ) # Make a plo t s e l e c t i o n ( or 0 to e x i t ) : 1: S e r i e s with 2 Conditio nal SD
42 ###################exapmle f o r rugarch package
43 variance . model <− l i s t ( model = ”eGARCH” , garchOrder = c ( 2 , 3) )
44 # # model Valid models ( cur r entl y implemented ) a re “sGARCH” , “fGARCH” , “eGARCH” , “
gjrGARCH” , “apARCH” and “iGARCH” and “csGARCH” .
45 # # garchOrder The ARCH (q) and GARCH (p ) ord ers .
46 # # submodel I f the model i s “fGARCH” , vali d submodels are “GARCH” , “TGARCH” , “
http://www.ma-xy.com 18 http://www.ma-xy.com
http://www.ma-xy.com
第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较 1.4 模型估计与模型信息
AVGARCH” , “NGARCH” , “NAGARCH” , “APARCH” , “GJRGARCH” and “ALLGARCH” .
47 mean . model <− l i s t ( armaOrder = c (0 , 0) , inc lud e .mean = T, archm = F)
48 spec <− ugarchspec ( v ar iance . model = variance . model ,
49 mean . model = mean . model ,
50 d i s t r i b u t i o n . model = ”norm” )
51 f i t <− ug a r chfit ( spec = spec ,
52 data = xt ,
53 out . sample = 0 ,
54 s o lver = ” soln p ” ,
55 s o lver . c ontr o l = l i s t ( tra c e = 0) )
56 #
57 #model fo ur : Igarch#######################################################
58 ##方 法 1 ：######
59 so ur ce ( ” Igarc h .R” )#Igarch .R在 下 面 给 出
60 model4 . Igarch <− Igarch ( as . vect or ( xt ) , i ncl ude . mean = T)
61 smodel4 . Igarch$model . informa ti on
62 ##方 法 2 ： use rugarch package##
63 variance . model <− l i s t ( model = ”iGARCH” , garchOrder = c ( 1 , 1) )
64 mean . model <− l i s t ( armaOrder = c (0 , 0) , inc lud e .mean = T, archm = F)
65 d istribu t i o n . model <− ”norm”
66 spec . iga rch <− ugarchspec ( varia nc e . model = varia nc e . model ,
67 mean . model = mean . model ,
68 d i s t r i b u t i o n . model = d i s t r i b u tion . model )
69 model4 . Igarch . rugarch <− u g arch f i t ( spec = spec . igarch ,
70 data = xt ,
71 out . sample = 0 ,
72 s o lver = ” soln p ” ,
73 s o lver . c ontr o l = l i s t ( tra c e = 0) )
74 #模 型 信 息
75 model4 . Igarch . rugarch
76 #计 算 模 型 6 个 指 标
77 re . IgarchModel . rugarch <− model4 . Igarch . rugarch@ fi t $ resi d u a l s #resi d u a l s ( model4 . I garch .
rugarch )
78 f i t . IgarchModel . rugarch <− model4 . Igarch . rugarch@fi t $ f i t t e d . v alues #f i t t e d (model4 . Igarch
. rugarch )
79 i f ( length ( xt ) == length ( f i t . IgarchModel . rugarch ) )
80 a <− rbind ( a , c r i t e r i o n ( f i t . IgarchModel . rugarch , xt ) )
81 #模 型 残 差 的 分 析
82 shapiro . test ( r e . IgarchModel . rugarch )#正 态 性 检 验
83 Box. t e s t ( re . IgarchModel . rugarch ,
84 lag = c e i l i n g ( log ( l en gt h ( re . IgarchModel . rugarch ) ) ) ,
85 type = ”Ljung−Box” )
86 ArchTest ( r e . IgarchModel . rugarch , l ag = 12)
87
上面用到的 Igarch 函数如下
1 ” Igarch ” <− fu nct ion ( rtn , inc lud e .mean=F, vol cn t=F) {
2 # Estimation of a Gaussian IGARCH( 1 ,1) model .
3 # rtn : return s e r i e s
4 # i ncl ude . mean : f l a g f o r the constant in the mean equation .
5 # v olcnt : f la g f o r the constant term of the v o l a t i l i t y equation .
6 #### de f a ult i s the RiskMetrics model
7 #
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1.4 模型估计与模型信息 第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较
8 Idata <<− rtn
9 Flag <<− c ( inc lud e .mean, volcn t )
10 #
11 Mean=mean( Idata ) ; Var = var ( Idata ) ; S = 1e−6
12 i f (( v olcnt )&&( inc lud e .mean) ) {
13 params=c (mu = Mean, omega=0.1*Var , beta =0.85)
14 lowerBounds = c (mu = −10*abs (Mean) , omega= S^2 , beta= S)
15 upperBounds = c (mu = 10*abs (Mean) , omega = 100*Var , beta = 1−S)
16 }
17 i f (( v olcnt )&&( ! in clu de . mean) ) {
18 params=c ( omega=0.1*Var , beta=0.85)
19 lowerBounds=c ( omega=S^2 , beta=S)
20 upperBounds=c ( omega=100*Var , beta=1−S )
21 }
22 #
23 i f (( ! vo lc nt )&&( inc lud e .mean) ) {
24 params=c (mu = Mean, beta= 0 .8)
25 lowerBounds = c (mu = −10*abs (Mean) , beta= S)
26 upperBounds = c (mu = 10*abs (Mean) , beta = 1−S)
27 }
28 i f (( ! vo lc nt )&&( ! in clu de . mean) ) {
29 params=c ( beta=0.85)
30 lowerBounds=c ( beta=S)
31 upperBounds=c ( beta=1−S)
32 }
33 # Step 3 : s e t c o ndit i o nal d i s t r i b u tion fun cti on :
34 iga rch Dis t = fun ction ( z , hh) {dnorm( x = z/hh)/hh}
35 # Step 4 : Compose log−l i k e li h o o d fun cti on :
36 igarchLLH = fun cti on (parm) {
37 inc lud e .mean=Flag [ 1 ]
38 volcnt=Flag [ 2 ]
39 mu=0; omega = 0
40 i f (( in clu de . mean)&&( vo lc nt ) ){
41 my=parm [ 1 ] ; omega=parm [ 2 ] ; beta=parm[ 3 ] }
42 i f (( ! inc lud e . mean)&&( volcnt ) ){
43 omega=parm [ 1 ] ; beta=parm [ 2 ] }
44 i f (( ! inc lud e . mean)&&( ! volc nt ) ) beta=parm [ 1 ]
45 i f (( in clu de . mean)&&( ! v ol cnt ) ) {mu=parm [ 1 ] ; beta=parm[ 2 ] }
46 #
47 z = ( Idata − mu) ; Meanz = mean( z^2)
48 e= omega + (1−beta ) * c (Meanz , z[− length ( Idata ) ] ^2)
49 h = f i l t e r ( e , beta , ” r” , i n i t=Meanz)
50 hh = sqr t ( abs (h) )
51 l l h = −sum( log ( i gar chD ist ( z , hh) ) )
52 l l h
53 }
54 # Step 5 : Estimate Parameters and Compute Numerically Hessian :
55 f i t = nlminb ( s t a r t = params , o b j e c t ive = igarchLLH ,
56 lower = lowerBounds , upper = upperBounds )
57 ##lower = lowerBounds , upper = upperBounds , c o ntr o l = l i s t ( trac e =3))
58 e p s i lon = 0.0001 * f i t $par
59 cat (”Estimates : ” , f i t $par , ”\n” )
60 npar=length (params )
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第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较 1.5 应用
61 Hessian = matrix ( 0 , ncol = npar , nrow = npar )
62 f o r ( i i n 1 : npar ) {
63 f o r ( j in 1: npar ) {
64 x1 = x2 = x3 = x4 = f i t $ par
65 x1 [ i ] = x1 [ i ] + e p s i lon [ i ] ; x1 [ j ] = x1 [ j ] + e p silon [ j ]
66 x2 [ i ] = x2 [ i ] + e p s i lon [ i ] ; x2 [ j ] = x2 [ j ] − e psilo n [ j ]
67 x3 [ i ] = x3 [ i ] − e p s i l on [ i ] ; x3 [ j ] = x3 [ j ] + epsi l o n [ j ]
68 x4 [ i ] = x4 [ i ] − e p s i l on [ i ] ; x4 [ j ] = x4 [ j ] − epsi l o n [ j ]
69 Hessian [ i , j ] = (igarchLLH ( x1 )−igarchLLH ( x2 )−igarchLLH ( x3 )+igarchLLH ( x4 ) ) /
70 (4 * epsi l o n [ i ] * eps i l o n [ j ] )
71 }
72 }
73 cat (”Maximized log−likehoo d : ” , igarchLLH ( f i t $ par ) , ”\n” )
74 # Step 6 : Create and Print Summary Report :
75 se . co e f = s qrt ( diag ( solv e ( Hessian ) ) )
76 t val = f i t $par/se . c o ef
77 matcoef = cbind ( f i t $par , se . c oef , tval , 2*(1−pnorm( abs ( tval ) ) ) )
78 dimnames ( matcoef ) = l i s t (names ( t v al ) , c ( ” Estimate ” ,
79 ” Std . Error ” , ” t value ” , ”Pr(>| t | ) ” ) )
80 cat (”\ n C o e f f icient ( s ) : \ n” )
81 printCoefmat ( matcoef , d i g i t s = 6 , s i g n i f . s t a r s = TRUE)
82
83 i f (( in clu de . mean)&&( vo lc nt ) ){
84 mu=f i t $ par [ 1 ] ; omega=f i t $par [ 2 ] ; beta = f i t $par [ 3 ]
85 }
86 i f (( in clu de . mean)&&( ! v ol cnt ) ) {
87 mu = f i t $par [ 1 ] ; beta = f i t $par [ 2 ] ; omega = 0
88 }
89 i f (( ! inc lud e . mean)&&( volcnt ) ){
90 mu=0; omega=f i t $ par [ 1 ] ; beta=f i t $par [ 2 ]
91 }
92 i f (( ! inc lud e . mean)&&( ! volc nt ) ){
93 mu=0; omega=0; beta=f i t $par [ 1 ]
94 }
95 z=Idata−mu; Mz = mean( z^2)
96 e= omega + (1−beta ) *c (Mz, z[− leng th ( z ) ]^2)
97 h = f i l t e r ( e , beta , ” r ” , i n i t=Mz)
98 vo l = sqr t ( abs (h) )
99
100 Igarch <− l i s t ( par=f i t $par ,
101 v o l a t i l i t y = vol ,
102 model . i nformation = matcoef ,
103 model . lo glik eho od = igarchLLH ( f i t $par ) )
104 }
105
1.5 应用
对组合投资和期权定价的研究一直是金融领域的热点问题。随经济的发展和网络时代的到
来，投资渐渐成为人们的生活必需品，投资相对于存款而言，最大区别在于，投资的收益是与风
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1.5 应用 第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较
险相伴的，而人们在对多种投资对象 (股票) 进行投资时，往往期望在一定投资期内，投资风险
最小下，投资 (组合) 带来的利益最大。
1900 年 Louis Bachelier 在“The Theory of Speulation”中首次提出使用 Brown 运动来分
析股票价格变换，但可惜的是，这种方法直到后来才被人们所接受。现代金融学发生过两场历史
性革命：第一次革命是由 1990 年诺贝尔经济学奖得主 Markowitz.H 引起的，1952 年 Markowitz
在其博士论文中创造性的建立了均值-方差组合投资模型来定量计量组合的风险和收益后，数理
工具在金融领域开始大放异彩，它突破了传统金融，渐渐在金融工程中占据主导地位。第二次革
命是由 1997 年诺贝尔经济学奖得主 Scholes 等引起的，Black.F 和 Scholes.M 运用随机微分方程
对股票价格进行模拟，并提出了著名的欧式期权定价公式：Black - Scholes 定价公式。
Markowitz 的组合投资策略是基于均值 - 方差的，他用股票收益率的均值作为股票收益的度
量，用收益率的方差作为风险的度量，投资的最终目标是使投资的收益最大风险最小。Markowitz
用收益率的方差来定量计算投资风险的方法并非没有缺陷，方差只描述了收益率偏离期望的程
度，没有反应偏离方向，但人们通常关心负偏离带来的损失，方差也不能反应证券组合的损失由
多大。随着风险的不同度量方法的进化，均值-方差模型后续又进化为：均值 - 半方差、均值 - 绝
对差、均值 - VaR、均值 - CVaR 等，然而，在传统的均值 - 方差模型族中，收益率的均值和方
差是不随时间变化的，这与实际情况并不相符，人们对收益率的认识已经从正态白噪声中脱离出
来，已经有一系列描述收益率情况的模型，比如 ARCH 族、SV 族等。并且，对于股票收益率的
建模，不仅仅局限于时间序列模型，还有前面介绍的随机微分方程等可以使用。
1.5.1 收益率模型
由于在下面的组合投资和期权定价问题中，收益率都占据着非常重要的地位，因此，我们先
建立收益率模型。由于不同市场的基数不同，我们设收益率为：
x
t
= ln
P
t
P
t−1
= ln P
t
− ln P
t−1
其中：P
t
为 t 时刻的股票价格，我们可以用前面介绍的 SDE(随机微分方程) 进行模拟，这里，我
们直接用 GARCH 模型族对其进行模拟。在平稳的前提下，我们对 {x
t
} 建立 GARCH 模型。
1.5.2 风险度量：条件风险价值 CVaR
在上面的收益率模型中，我们已经计算了收益率的均值和方差，然而，方差并不能很好的度
量风险。方差只描述了收益率偏离期望的程度，没有反应偏离方向，但人们通常关心负偏离带来
的损失，方差也不能反应证券组合的损失由多大，因此，我们采用基于风险价值 VaR 的条件风
险价值来度量风险。
定义 (风险价值 VaR) 某项金融资产 (例如股票和股票的组合) 在一定时期内，在一定置信
水平下，可能的最大损失
P {x
t
< V aR
t
} = α
其中：x
t
为 t 时刻的收益率，α 为显著性水平 (百分位数)，1 − α 为置信水平。
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第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较 1.5 应用
用 VaR 作为风险的度量有一定的缺陷，他没有考虑尾部风险，即损失超过 VaR 的风险，
VaR 不满足其次可加性，为此，我们引入具有次其次可加特点的条件风险价值 CVaR 来度量风
险。CVaR 是在一定置信水平下，发生损失超过 VaR 时的平均损失。计算公式如下
CV aR
t
= −E(x
t
|x
t
⩽ −V aR
t
) =
V aR
t
−∞
zf (z)dz
1 − α
其中：f(·) 为收益率的概率密度函数。
计算 VaR 和 CVaR 的方法有许多，如历史模拟法、分析法、Monte Carlo 模拟法、极值法
等。下面的计算中，我们主要利用正态法进行求解。
(1)CF 展开法求 VaR 和 CVaR：Cornish - Fisher 展开式将标准化后的收益率的百分位数 α
近似表示为
q = c(α) +
1
6
[c(α)
2
− 1]s
t
+
1
24
[c(α)
3
− 3c(α)][k
t
− 3] −
1
36
[c(α)
3
− 5c(α)]s
2
t
其中：c(α) 为标准正态分布的 α 百分位数，s
t
为标准收益的偏度，k
t
为标准收益的峰度。所以，
我们可以计算 CVaR 的近似展开式，收益率 x
t
的百分位数 α 为
V aR
t
= u
t
+ σ
t
q
CVaR 为
CV aR
t
= −σ
t
M
1
+
1
6
(M
2
− 1)s
t
+
1
24
(M
3
− 3M
1
)(k
t
− 3 −
1
36
(2M
3
− 5M
1
)s
2
t
其中：M
i
=
1
α
i
=
c(α)
−∞
x
i
f(x)dx, i = 1 , 2, 3，f (·) 为标准正态分布的密度函数。
(2) 基于正态分布的 VaR 和 CVaR：设各时点 t 上收益率 r 服从具有时变方差的条件正态
分布，所以有
x
t
|I
t−1
∼ N(µ
t
, σ
2
t
)
所以正态分布下的 VaR 和 CVaR 为
V aR
t
= −µ
t
+ c(1 −α)σ
t
CV aR
t
= −µ
t
− σ
t
f(c(1 −α))/(1 − α)
1.5.3 组合投资 E-CVaR 模型
组合投资即为用有限的资金来投资不同的股票。当然，在投资后的一定时期，我们将会获得
投资的回报，虽然有时回报可能是负值，我们自然很希望我们的投资选择是最好的：风险最小，
收益最大。我们将股票数目确定，规定必须要投资也只能投资某些股票，我们用每个股票的收益
率均值 E 作为收益的度量，用每个股票收益率的条件风险价值 CVaR 作为风险的度量，我们可
以依据每个股票的历史收益率序列来计算均值
E
和条件风险价值
CVaR
，我们希望在我们投资
过后，组合投资的收益最大，风险最小，这就使得我们需要确定我们的投资权重，也就是将固定
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1.5 应用 第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较
资产的多少用于投资某个股票。当然，区别于传统的组合投资，组合投资 E-CVaR 的投资时间
也是非常关键的，因为，我们的收益率均值 E 和收益率条件风险价值 CVaR 都是和时间有关的。
这说明，在收益最大、风险最小这个多目标下，我们的投资权重和投资时间将是决定性变量 (所
求)。下面，我们来建立与时间有关的 E-CVaR 模型。
设有 n 个投资对象 (n 个股票)，每个股票记为 i，t 时刻股票 i 的价格记为 P
i
t
，t 时刻股票
i 的收益率序列为 x
i
t
，股票 i 的投资权重为 w
i
，投资时间限制为 T 时间内，则 E-CVaR 模型为
min
n
i=1
CV aR
i
t
· w
i
max
n
i=1
E(x
i
t
) · w
i
s.t.
n
i=1
w
i
= 1
0 ⩽ w
i
⩽ 1
0 ⩽ t ⩽ T
i = 1, 2, . . . , n
1.5.4 组合投资的数值模拟
数据：我们通过 MATLAB 链接 Yahoo 财经网，从而获取投资对象的信息（股票的历史价
格），选取 IT 行业的主要企业进行投资，他们分别是：’AAPL’、’GOOG’、’FB’、’AMZN’、’PCLN’、
’BIDU’、’YHOO’、’JD’、’NFLX’、’LNKD’、’TWTR’ 和’TRIP’。经过简单的处理后，排除’GOOG’,
’JD’ 和’TWTR’3 支股票，选取剩余 9 支股票的截至到 12/01/2015 的 889 个日期股票价格数据
作为组合投资对象。
目标：我们首先对每只股票价格进行收益率处理，然后构建每只股票的收益率序列模型，并
计算每支股票的风险价值和条件风险价值序列，计算各个时点 t 的 E - VaR、E - CVaR 模型的
有效前沿；最终计算最优的组合权重 w
i
。
对 9 支股票收益率序列建立 GARCH 模型。其中，均值模型建立 ARMA 模型，方差模型建
立 GARCH 模型，收益率模型的部分信息如表 (1.6) 所示。在表 (1.6) 中，有收益率序列的平稳
性检验、均值、均值模型 ARMA 的阶数 r 和 m、均值模型后的残差 ARCH 效应检验、方差模
型 GARCH 的阶数 p 和 q、方差模型的模型信息 AIC 和 BIC 以及方差模型后的残差 ARCH 效
应检验。
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第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较 1.5 应用
表 1.6: 9 个收益率模型的信息
收益率 r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9
平稳性 平稳 平稳 平稳 平稳 平稳 平稳 平稳 平稳 平稳
均值 0.0014 -0.0012 -0.0007 -0.0012 -0.0006 -0.0009 -0.0009 -0.0009 -0.0013
r 6 1 1 0 1 1 0 2 0
m 4 1 1 1 0 3 1 5 1
异方差 TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
p 1 0 2 0 0 1 0 1 0
q 1 0 1 0 0 1 0 1 0
aic -4714.30 -3924.17 -4427.40 -4417.54 -3993.14 -4598.48 -3191.88 -3700.50 -3874.82
bic -4699.93 -3919.38 -4408.23 -4412.75 -3988.35 -4584.11 -3187.09 -3686.12 -3870.03
异方差 FALSE FALSE TRUE FALSE FALSE TRUE FALSE TRUE FALSE
下面，详细给出收益率序列
r
6
(AMZN)
的模型以及利用模型生成的收益率序列
r
6
(AMZN)
的均值和方差。收益率序列 r6(AMZN) 的模型为
x
t
= −0.0009 + 0.6355r
t−1
+ ε
t
− 0.6312ε
t−1
− 0.001846ε
t−2
− 0.09839ε
t−3
σ
2
t
= 0.823793σ
2
t−1
+ 0.1127ε
2
t−1
收益率序列图和收益率序列均值模拟图，方差模拟图如图 (1.9) 所示。
图 1.9: r6 均值方差模拟图
利用正态分布下的 VaR 和 CVaR 计算公式
V aR
t
= −µ
t
+ c(1 −α)σ
t
CV aR
t
= −µ
t
− σ
t
f(c(1 −α))/(1 − α)
得到的 9 支股票收益率序列的条件风险价值 CV aR
t
如表 (1.7)
所示
注：() 表示取负值。例如：(0.0101) 表示-0.0101
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1.5 应用 第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较
表 1.7: 9 支股票收益率序列的条件风险价值
AAPL FB AMZN PCLN BIDU YHOO NFLX LNKD TPIP
0.0109 0.0108 0.0028 0.0097 (0.0078) (0.0597) 0.0028 (0.0462) (0.0075)
(0.0101) (0.0107) 0.0025 (0.0005) (0.0008) 0.0041 (0.0010) (0.0039) (0.0007)
(0.0159) 0.0082 0.0023 (0.0010) (0.0006) 0.0109 (0.0000) 0.0050 (0.0008)
(0.0033) (0.0092) 0.0029 (0.0008) (0.0007) 0.0068 (0.0029) 0.0234 (0.0007)
0.0068 0.0071 0.0025 (0.0003) (0.0007) 0.0043 (0.0006) 0.0226 0.0002
我们选取 t 时刻进行研究，观察 9 支股票的不同组合投资模型下的有效前沿 (不许买空)。其
中，不同的组合投资模型包括：CVaR - E，VaR - E，sigma - E，分别是利用条件风险价值、风
险价值、方差来度量风险。t 时刻的 9 支股票的均值、方差、风险价值、条件风险价值如表 (1.8)
所示
表 1.8: t = 889 时刻的 9 支股票的均值、方差、风险价值、条件风险价值
股票 AAPL FB AMZN PCLN BIDU YHOO NFLX LNKD TPIP
E 2.74E-04 -2.45E-03 -5.93E-04 -1.58E-03 -7.91E-04 1.93E-03 3.43E-03 3.56E-03 -2.75E-03
sigma 3.57E-04 7.07E-04 3.77E-04 4.06E-04 6.54E-04 3.53E-04 1.61E-03 1.44E-03 7.48E-04
VaR 4.50E-02 6.32E-02 4.51E-02 4.72E-02 5.97E-02 4.09E-02 8.91E-02 8.38E-02 6.50E-02
CVaR 6.04E-04 5.78E-04 -6.25E-04 -1.92E-04 -4.65E-04 -3.30E-03 -5.37E-03 -5.52E-03 6.80E-04
有效组合是指在同样风险水平下具有最高收益的组合，不同的收益及不同收益对应的最小风
险记为有效前沿。t(t = 889) 时刻 9 支股票的不同模型的有效前沿如图 (1.10) 所示，每一个收益
ER 都会对应一个最小的风险，在大多数情况下，我们更加关心收益为正 (ER>0) 时的风险。
图 1.10: t = 889 各种组合模型的有效前沿
虽然在上面我们选取了时间 t = 889 作为观察对象，但 t = 889 可能不是最好的投资时间，
我们可以规定在某一风险值下 (即我们所能承受的最大风险)，我们要获得最大收益 ER
t
，为此，
我们需要选取最佳投资时间 t：在 t 时刻下，在规定的风险值下，我们的收益 ER 最大。由于我
们的时间跨度很大: 从 1-889，我们没有必要所有时间点 t 都进行研究，那样的工作量将会很大，
我们以 5 为步长观察 1 到 889 时刻的每个时点的有效前沿，得到的结果如图 (1.11) 所示，从中
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第一章 证券收益率的 GARCH 族模型比较 1.5 应用
我们看到，在时间 t = 46 时，它的有效前沿异于其它时点，在同样的风险水平下，它的收益要明
显高于其它时点，所以可以大致判断最优投资时间在 t = 46 左右。
图 1.11: 各时点 t 的不同组合投资模型的有效前沿
在最终进行求解最优投资时间和投资权重时，我们仅仅是查看了不同时点的有效前沿，选取
了最优投资时间 t = 46，实际上，我们可以利用 IENSGAXXXV1 算法求出具体的最优时间 t 和
最优投资权重 w
i
，由于时间和篇幅原因，我们没有做相应的处理。文中模型的另一个不足之在于
收益率模型，从表 (1.6) 中我们可以看到，仍有部分模型产生的残差是具有 ARCH 效应的，这使
得我们有必要考虑建立新的收益率模型。
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